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M,aH-u ^3<f^7/.Y
^ SCIENCE CENTER LIBRARY
FROM THE LIBRARY
OF
CHARLES SANDERS PEIRCE
(Clu8 of 1859, Harrard CoUcgc)
logician
invesugator of the history of science
contributor to the philosophy of evolution
THE GIFT OF
MKS. CHARLES S. PEIRCE
THROUGH THE
HARVARD COLLEGE LIBRARY
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SIEBENSTELLIGE
GEMEINE
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ZAHLEN VON 1 BIS 108000
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UND DER
SINUS, COSINUS, TANGENTEN
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ALLER WINKEL DES QUADRANTEN
VON 10 Zu 10 SECUNDEN.
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TYFBNaUSS UlTD STEBJQOTYPIE
AUS DBB 8CHBIFT- UND 8TEBEOTT7ENOIB88EBBI
VON FBIEDBICH VIEWEO UND SOHN
IN BBAUN8CHWEIG.
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AUS DEB MECHANISCHEN PAPIEB-FABBIK
DEB OEBBÜDEB VIEWBG ZU WBNDHA'USBN
BEI BBAÜNSCHWEIG.
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SIEBENSTELLIGE
GEMEINE
LOGARITHMEN
DER
ZAHLEN VON 1 BIS 108000
UND DER
SINUS, COSINUS,.TANGENTEN
UND
COTANGENTEN
ALLER WIKEEL DES QUADRANTEN
VON 10 ZU 10 SECÜNDEN
VON
Db. LUDWIG QOHRÖN,
DJreotor der Stomwarte und Profeesor eu Jena, Mltgliede der Kaiserlich Leopold. Carolin, deutschen Aoademie der Natur-
forscher und der gelehrten GeseHsohaften zu Breslau, Frankfurt a. M., Halle und Jena.
ELFTE REVIDIRTE STEREOTYP-AUSGABE.
TAFEL I. & n. DES GES AHMT WERKES IN DREI TAFELN.
BRAUNSCHWEIG,
DRUCK UND VERLAG VON FRIEDRICH VIEWEG UND SOHN,
18 7 1.
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I Gilt of
^'
Die Herausgabe einer Uebersetzung in französischer und englischer Sprache,
sowie in anderen modernen Sprachen wird vorbehalten.
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Vorrede.
Zu der Herausgabe der yorliegenden Tafeln bewogen verschiedene Bücksichten. Sie sol-
len nämlich
1. die schriftlichen Hülfsrechnungen bei der Interpolation entbehrlich machen,
2. dabei eine grössere Genauigkeit gewähren, als andere Tafeln von ähnlichem
Umfange,
3. zugleich einen yerschiedeneu Gebrauch nach Gewohnheit und Bedürfhiss zulassen,
4 auch für Bechnungen mit sechsstelligen Logarithmen ein bequemeres und schär-
feres Hülfsmittel darbieten als dies die gewöhnlichen sechsstelligen Tafeln ver-
mögen,
5. durch ihre Ausstattung dem Auge angenehm und wohlthuend sich erweisen und
6. durch die vier verschiedenen Ausgaben einfachere Zwecke mit geringerem Auf-
wände befriedigen.
In letzterer Hinsicht ist dafür gesorgt, dass folgende Theile des Gesammtwerkes in
besonderen Ausgaben für sich verkäuflich sind:
die Tafel I. mit den Logarithmen der Zahlen, für Solche, welche Tafeln für trigo-
nometrische Bechnungen nicht nöthig haben,
die Tafeln L und H. mit den Logarithmen der Zahlen und der trigonometrischen
Functionen, für Solche, welche auch für trigonometrische Bechnungen der
Interpolationstafel nicht bedürfen,
die Interpolationstafel, Tafel HL, für Solche, welche diese Tafel für die erste
Ausgabe oder für andere Tafeln anzuwenden wünschen, und
das Gesammtwerk, bestehend aus Tafel I, II. und HL, für Solche, welche alle Tafeln
vollständig besitzen wollen.
Ungeachtet aller dieser Bücksichten und Ausführungen könnte man diese Tafeln auf
den ersten Blick vielleicht für eine Nachahmung des Handbuchs von Bremiker^) hal-
^) Georg Freiherr von Yega's logaritluniscli- trigonometrisches Handbnch, 40. Auflage.
Nene, voUsiändig durchgesehene und erweiterte Stereotyp-Ansgabe. Bearbeitet von Dr. C. Bremiker»
Berlin 1866. Weidmann'sche Buchhandlang. XXXII. und 576 S. 8^ 1% Thlr.
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II Vorrede.
ten. Allein zunächst sind sie eine weitere Ausfuhrung meiner fünfstelligen Zahlenlogarith-
men Yon 1838 1) und dann fallen Plan und Ausführung zumTheil weit vor das Erscheinen
des Vega-Bremiker'schen Handbuches (1856). Es löhnte nämlich bereits 1843 die Weid-
männische Buchhandlung auf eine vorläufige Anfrage das Unternehmen ab und im Novem-
ber 1846 war von dem Manuscripte schon TaielL im Besitze derVieweg'schenBuchhand-
lung. Die darauf folgenden für das Erscheinen solcher. Werke ungünstigen Zeitverhält-
nisse verzögerten die Ausführung; als jedoch jenes Handbuch erschien, war schon über
ein Viertel der Tafel I. gesetzt und kann sie demnach keine Nachahmung von jenem sein. Ob
aber diese Tafeln eine überflüssige Goncurrenzschrift neben jenem Handbuche bilden,
muss nach näherer Einsicht dem Urtheile der Sachkenner überlassen werden.
Was nun die Ausstattung und die äussere Einrichtung betrifft, obschon
sie vor Augen liegen, so dürften doch folgende Bemerkungen nicht als überflüssig er-
scheinen.
Die älteren französischen Ziffern haben ungleiche Höhe: während die drei Ziffern
0, 1, 2 die normale Höhe besita;en, ragen die übrigen theils unten, theils oben hervor und
stören dadurch das Auge beim Ablesen langer Zahlenreihen. Durch die Anwendung
gleich hoher Ziffern ist nicht bloss dieser üebelstand vermieden, sondern zugleich der
Vortheil grösserer Ziffern ohne Vergrösserung des Formates erreicht Babbage, dessen
Tafeln «) sich durch Eleganz und Deutlichkeit auszeichnen, sagt hierüber in seinem Vorworte :
„Die Klarheit oder Leichtigkeit im Lesen hängt nicht allein von der Grösse der Charaktere ab,
sondern vielmehr von dem Verhältnisse derselben zu dem Zwischenräume unter den Zeilen.
Ziffern von derselben, oder nahe derselben Höhe, sind jenen, die über die anderen hervorragen,
oder unter sie herabsinken, vorzuziehen, da sie den Zwischenraum der Reihen weniger
stören. Dies ist um so mehr nöthig, wenn es aus irgend einem Grunde wünschenswerth
ist, manche der Ziffern durch Linien, Punkte oder andere Zeichen, welche über oder
unter sie gestellt werden, zu unterscheiden.^ Letzteres gilt aber in der Tafel L und IL von
den Strichen unter der letzten Mantisse. Dabei wurden sogenannte Egyptienneziffern, wel-
che gleiche Stärke und deshalb grössere Deutlichkeit, als die mit Haar- und Grundstri-
chen versehenen'tnglischen Ziffern haben, auch hier angewendet Diese gleich hohen und
gleich starken Ziffern bilden gleichförmige, geradlinig begrenzte Zeilen, welche in funfzeiligen
Abtheilungen noch sehr bequem verfolgt und unterschieden werden können. Deshalb konnte
auch eine weitere Vergrösserung des Formates erspart werden, welche in der för die
Höhe maassgebenden Tafel L nöthig geworden wäre, wenn man statt der gewöhnlichen
funfzeiligen Abtheilung die dreizeilige mit Einschliessung der je zehnten Zeile zwischen
Querlinien angewendet hätte, wie schon 1852 Bremiker in der sechsstelligen Logarith-
mentafel bei den kleinen und ungleich hohen Ziffern mit offenbarem Vortheil gethan hat.
In der Tafel IH. wäre zwar der Raum hierzu reichlich vorhanden gewesen, (Ue deshalb
weiter von einander abstehenden Zeilen gestatten aber um so mehr, ohne Beeinträchti-
gung des bequemen Gebrauchs für die von 10 zu 10 fortschreitenden Zahlen, den gewohn-
ten Abtheilungen zu je 5 Zeilen treu zu bleiben. Dasselbe gilt endlich auch in der
Tafel IL von den sechszeiligen Minuten und ihren Hälften zu je 3 Zeilen, die überdies
*) Tafel der drei- and fünfstelligen Logarithmen bezüglich för die Zahlen 1 bia 1400 und 1 bia
14000, geordnet nnd revidirt von Dr. Ludwig Sohrön. Jena, bei Friedrich Frommann 1838.
16 S. Tafeln und 4 8. Text 4«. Vi Thlr.
*) Logarithmen der natürlichen Zahlen 1 bis 108000 von Karl Babbage, M. A. Lnk. Professor
der Mathematik an der' Universität su Cambridge, Mitglied der vorzüglichsten gelehrten Gesellschaften
beider Erdhälften. Dritte Stereo^- Auflage, besorgt und mit der Einleitung in deutscher Sprache
herausgegeben von Karl Nagy, der ung. Akademie der Wiss. Korr., und der amer. phylos. Ges.
wirkL Mitglied. London: gedruckt für die ungarische Akademie der Wissenschaften. 1834. 26 S. Text
und 202 S. Tafehi. 8. 3% Thlr.
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Vorrede. jjj
durch die Differenzen unterbrochen werden. Deshalb schien es auch bedenklich diese
dreizeiligen mit fiinfzeiligen Abtheilungen zu vertauschen, so sehr auch die dadurch ge-
wonnene Gleichartigkeit der linken und rechten Eingänge dazu aufforderte.
Auch wurden in Tafel L bei dem Wechsel der ersten Mantissen (§. 12) Sternchen (*)
gewählt, die Babbage nur aus Eaumersparniss nicht angewendet hat Hier aber wur-
den sie benutzt, um zugleich die langen schmalen Spalten durch grössere Zwischenräume
noch deutlicher zu trennen*
EndHch wurden in Tafel HI. die den Tafelzahlen zu Grunde liegenden Formehi über
jede Seite gesetzt, entsprechend der Regel (Babbage S. VIU.): „wenn die Tafehi aus
ein£Etchen Formeln entspringen, sollen auch diese Formeln oben erscheinen."
Den Inhalt der Tafeln betreffend mag Folgendes erwähnt werden, während wegen
der inneren Einrichtung und des Gebrauchs auf die Einleitungen verwiesen werden muss.
Der Strich unter der letzten Mantisse in der Tafel I. und n., wenn sie wegen der fol-
genden abgeschnittenen Mantissen um eine Einheit vergrössert worden ist, bedeutet
— y* derselben, wahrend bei der Abwesenheit des Striches + 1/4 hinzuzudenken ist
Striche aber sind augenfälliger und, zugleich als Minuszeichen geltend, zweckmässiger als
Punkte oder anders geformte Ziffern. Durch diese Bezeichnung wird die Grenze des
Fehlers, den ein Logarithmus der Tafel haben kann, auf die Hälfte herabgesetzt, und im
§. 25 der Einleitung sind die Regeln aufgestellt, naph welchen man mit Rücksicht auf
jene Striche schärfer interpoliren kann. Dieses giebt eine zweite neben der gewöhn-
lichen Methode der Vereinigung des Proportionaltheils mit dem Logarithmus der Tafel,
welcher noch eine dritte Methode (§. 26) beigefügt ist, nach welcher eine schärfere Rech-
nung mit siebenstelligen Logarithmen durch Hinzufügung der Zehntel der siebenten
Mantisse beabsichtigt wird. Der Erfolg dieser drei Methoden ist durch die Verglei-
drang mit zehnstelligen Logarithmen nachgewiesen worden. Dabei gestatten die Ta-
fehi einen verschiedenen Gebrauch je nach der Gewohnheit und dem Bedürfiiisse des
Rechners.
Die gewöhnliche Fortführung der Logarithmen für die Zahlen 100000 bis 108000
und zwar mit acht Mantissen (8. Abtheilung der Tafel L, 8. 186 bis 201) geschah aus den
§. 83 näher angegebenen Gründen.
Durch eine grössere Breite des Formates, welche weniger unbequem ist als eine grös-
sere Höhe, wurde es mögUch die Proportionaltheile mit eben so grossen Ziffern wie die
der Logarithmen einzutragen, ihnen die erforderlichen Zehntel beizufügen, sie in der Tafel L
für alle auf derselben Seite vorkommenden Differenzen aufzunehmen und dieses selbst in
der Tafel IL so weit als thunlich durchzufuhren. Diese beiden letzten Bedingun-
gen konnten trotzdem nur durch die Aufnahme der dritten Abtheilung der Tafel L erfüllt
weiden, weil sonst der Raum auf S. 6 und 7 und S. 204 bis 221 noch unzureichend
gewesen wäre. Oder man hätte dort viele Differenzen ausschliessen und hier die vortheil-
hafte Grenze (§.77, 4. und §.85, 1.), höchstens vier Differenzen (S. 222 bis 288) auszulassen
imd, wenn man einmal die Proportionaltheile (S. 204 bis 221) aufschlagen muss, sie dann
auch für alle geraden Differenzen vorzufinden aufgeben müssen. Das Nähere darüber
ist §. 75 und 76 mitgetheilt worden.
Um die Logarithmen des Sinus und der Tangente für 0 bis 8 Grad und was davon
abhängt (§. 67 f.) mit Hülfe der Tafel L schärfer und bequemer als sonsfr berechnen zu
können, gewährt zunächst die achte Dedmalstelle von S und T und der durch den Strich
angedeutete Zusatz ± V* zu hg.a" eine grössere Schärfe der siebenten Mantisse des-
gesuchten Logarithmus (§. 74, 2.) oder des log.af' bei gesuchtem Winkel (§. 84). Dann
Hefem aber auch die angefugten Spalten (Log. Sm. und Log. Tang.)y wenn der Logarith-
mus gesucht wird, die Kennziffer und die ersten Mantissen desselben (§. 74, 1.) und die
Unken Randspalten ersparen die Reduction des gegebenen Winkels auf Secunden. (§. 70))^
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IV Vorrede.
80 dass nur die Rechnang mit den letzten ManÜBsen übrig bleibt (§. 74, 1.). Bei gesach-
tem Winkel dagegen erhält man durch diese letzten Spalten mit Rückweisung auf die erste
die nächste Andeutung des Winkels und durch die linken Randspalten die Gegend des
hg. a", wo die Rechnung mit den letzten Mantissen geschlossen wird (§. 84, 5.). Bei die-
ser bequemen und zugleich schärferen Rechnung konnte die gewöhnliche Mittheilung
der ersten Grade von Secunde zu Secunde ausfallen, bei welchen ohnehin die Interpola-
tion wegen der fehlenden Differenzen und Proportionaltheile sehr beschwerlich ist
Die Berücksichtigung der zweiten Differenzen für Winkel über 3 Grad (§. 77, 5. bis 9.
und §. 85, 2.) ist durch eine Tafel (§. 77, 8.) und eine Regel für das Zeichen (§.-77, 9.) -auf
die bequemste Behandlungsweise zurückgeführt worden.
Bei dem Vortheile des Gebrauches dieser Tafeln für Rechnungen mit sechsstelligen
Logarithmen (§. 43) ist auch die nöthige Anleitung hierzu (§§. 44, 62, 81 und 87) gege-
ben worden.
Obschon aus den bisherigen Bemerkungen erhellen dürfte, dass Tafel L und IL eine
schärfere und bequemere Anwendung gestatten als andere Tafeln von ähnlicher Bogen-
zahl, so wird doch denen, welche es wünschen (§. 30 £), in der Tafel UI. eine Interpola-
tionstafel zur noch weiteren Erleichterung dargeboten. Ihr geht eine Anleitung zu ihrem
allgemeinen Gebrauche voran, während ihre Anwendung auf Tafel L und II. mit Bezie-
hung auf jene Anleitung auch hier (§§. 32, 61, 79 £ und 86) erläutert ist.
Die leeren Seiten (S. 202 und 474) sind mit den gewöhnlichen Tafeln zur Verwand-
lung der gemeinen und natürlichen Logarithmen in einander und der Bogenlängen und
S. 76 der Tafel III. mit der Tafel für die Berechnimg der Logarithmen der Zahlen aus-
gefüllt worden. Weitere Blätter mit anderen Beigaben hinzuzufügen lag ausser dem Plane
dieser Tafeln, nach welchem durch Ausserwesentliches der Umfang nicht vergrössert wer-
den sollte. Dahin dürfte aber Alles gerechnet werden können, was Jeder schon, anders-
woher nach seinen eigenthümlichen Verhältnissen besitzt (§. 1), bei deren Verschieden-
artigkeit das Gewünschte in der rechten Form zu treffen wohl selten gelingen dürfte.
Zur Erlangung der möglichsten Gorrectheit der Tafeln ¥nirden ausser den sorgfal-
tigen Correcturen nach dem Manuscripte in der Officin der Verlagsbuchhandlung sowohl
der Satz als auch die Stereotypplatten wiederholt reyidirt Um nun soviel als möglich
die Controle durch andere Revisoren zu ersetzen und die Schärfe der eigenen Revisionen
zu überwachen, wurden bei den Revisionen nur dieselben Abdrücke angewendet, die gefun-
denen Fehler jedoch nicht auf diesen corrigirt, sondern in Fehlerverzeichnisse ein-
getragen. Je weniger man sich aber bei den folgenden Revisionen des Ortes und der
Art der Fehler bewusst ist und je übereinstimmender diese Fehlerverzeichnisse ausfallen,
für desto sicherer darf man die Revision halten. Zu diesen Vergleichungen wurden ange-
wendet: Vega's Thesaurus»), Callet's Tafeln (Tirage 1853)«) und das Handbuch von
*) Thesaurus logartthmorum €<mpletu8 a Oeorgio Vega. Lipsiae in lihraria Weidmann^
1794. XXX. nnd 684 S. in Folio. £r enthält lateinischen and deutschen Text und die zehn-
stelligen Logarithmen der Zahlen 1 his 101000 und der trigonometrischen Functionen für jede Se-
cunde der zwei ersten und letzten und von 10 zu 10 Secunden der übrigen Grade des Quadranten
nebst einigen andren Zugaben.
') Tahles portatives de logarithmes par Fran^ois Callet. Edition stMgtgpe. Paris. Firmin
Didot 1795 (Tirage 1858). 118 S. Text und 680 S. Tafeln. 8^ Sie enthalten die siebenstelligen Lo-
garithmen der Zahlen 1 bis 108000, der Sinus und Tangenten für jede Secunde der ersten 5 Grade und
der trigonometrischen Functionen von 10 zu 10 Secunden des Quadranten, femer die zwanzigstelligeu
gemeinen und natürlichen Logarithmen der Zahlen 1 bis 1200, dann funfzchnstelUg die Sinus und
Cosinus und deren Logarithmen für jedes Tausendtel des Quadranten und noch mehrere andere Ta*
fein. — In dieser Ausgabe sind die fünf Fehler, welche Bremiker in der Ausgabe von 1821 gefunden
und S. XIY. u. XY. des Handbuchs von 1856 mitgetheilt hat, bereits berichtigt, dagegen noch nicht
die beiden S. XIV. vor jenen angegebenen.
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Vorrede. V
Vega-Bremiker, zu Tafel L auch Babbage's Tafeln von Nagy (1834) und theil-
ireise auch die Tafeln von Köhler (1847) und Vega-Hülsse (1843). Für TafelllL
genügte die Addition nach den Spalten und nach den Zeilen.
Ausser diesen Yergleichungen wurden die sämmtlichen Logarithmen durch Differen-
zen und die letzte Mantisse nach den zehnstelligen Logarithmen des Thesaurus geprüft.
Da aber Gauss (1851, Astronomische Nachrichten Nr. 756) in diesem die Logarithmen
der Zahlen „bei sehr vielen gelegentUch gemachten Yergleichungen mit mehrstelligen
Bestimmungen immer sehr correct gefunden^^ hatte, während bei den Logarithmen der
trigonometrischen Functionen die Fehler bis auf vier Einheiten der zehnten Mantisse
«tiegen, so wurden bis zxir Entscheidung mehrstellige Logarithmen berechnet:
1. Wegen des Striches unter der siebenten Mantisse die auf 999, 000 und 001 enden-
den Logarithmen _der Zahlen oder (§. 17) die Logarithmen »8999, »«000 und »»OOl, jedoch
Yon S. 97 oder von Num. 55500 an nur die Logarithmen «^0; für die trigonometrischen
Functionen aber die Logarithmen #«996, •»997, •»998, »8999, »«OOO, #8001, #8002, »8003
und »8004.
2. Zur Entscheidung über die siebente Mantisse und somit auch über den Strich für
die Zahlen die Logarithmen »8499, »8500 und »8501, bis S. 96, dagegen für die trigonome--
trifichen Functionen die Logarithmen «8500, während für die übrigen acht anliegenden
Logarithmen, sowie bei den Zahlen von S. 97 an für die Logarithmen «8500, die Entschei-
dung aus dem Handbuche von Vega-Bremiker entnommen wurde.
3. Für die achtstelligen Logarithmen der Zahlen 100000 bis 108000 (S. 186 bis 201)
waren weitere Berechnungen erforderlich. Für 100000 bis 101000 konnten noch die
zehnstelligen Logarithmen des Thesaurus benutzt werden, es wurden daher wegen des
Striches und der achten Mantisse mehrstellig die Logarithmen »^00 und •»50 berechnet.
Für die Zahlen 101000 bis 101179 konnten die Zwanzigstelligen Logarithmen in Gallet's.
Tafehi benutzt werden. Für die Zahlen 101180 big 108000 aber wurden nach dem The-
saurus zwischen den Zahlen 10118 bis 10800 die fehlenden Logarithmen interpolirt
und zwar mit Hinzufügung der bei der Interpolation sich ergebenden Zehntel dor zehn-
ten Mantisse (§. 26). Zur Entscheidung über den Strich und über die achte Mantisse
wurden mehrstellig die Logarithmen •»98.5 bis •»99.9, •»OO.O bis •»01.4 und •»48.5 bis
•»51.4 berechnet, mithin alle Logarithmen, welche in der zehnten Mantisse innerhalb
Vji Einheiten von •»OO und »»50 abweichen, oder die Logarithmen ^»99, •»00; »»Ol, •»49,
•»50 und •»öl 1).
1) Die Yergleichnng mit den Tafeln von Gallet (1853), Babbage (18S4), Vega-Hülsse (1843)
tmd Köhler (1847) ergab, dass von den 6000 Logarithmen der Zahlen 102000 bis 108000 in der ach^
ten Mantisse, in diesen Tafeln genau übereinstimmend, 456 (vier hundert fünfzig und sechs) Logarith-
men fehlerhaft waren. Unter diesen befindet sich jedoch log, 103000 = , 01288723, dessen achte Man-
tisse % statt 3 sein muss. Dieser Fehler wrirde nebst zwei anderen rechtzeitig vor der Ostermesse 1847
▼on S. Maynard in London angezeigt, welcher auch die für jeden Fehler versprochene Prämie von
Einem Louisd'or erhielt, und ist in den spätem Ausgaben der Kohl er 'sehen Logarithmen conigiri
worden. — Femer sind in Babbage's Tafeln (1834) bei den Logarithmen der Zahlen 1 bis lOQOOO in
der siebenten Mantisse „die erhöhten Zififem^~(S. Y) mit einem Punkte unter denselben versehen, wie
in Tafel L und IL mit einem Striche in derselben Bedeutung. Bei 59 (fünfzig und neun) Logarith-
men fehlt dieser Punkt und bei eiuem Logarithmus muss er gestrichen werden. Auch ist die siebente
Mantisse eines Logarithmus um 1 zu gross und die zwölfte des Logarithmus in der Vorrede (S. Y)
mn 1 zu klein. — Dann befinden sich in Gallet's Tafeln (1853) unter den trigonometrischen Hülfs-
zahlen 8 und T, welche über den Logarithmen der Zahlen stehen, sehr häufig fehlerhafte. — Endlich
wurden in Yega-Bremiker's Handbuche (1856) sieben Fehler gefunden.
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VI Vorrede.
Auch die Zahlen S und T der Tafel L, welche aus den zehnstelligen Logarithmen des
Thesaurus abgeleitet wurden, sind zur Entscheidung der achten Decimalstelle Ton
•H6 bis »'54 mehrstellig berechnet worden.
Endlich sind die in der Einleitung angegebenen zehnstelligen Logarithmen nicht aus
dem Thesaurus, sondern aus mehrstelligen Bestimmungen entnommen worden«
Jena, 1859.
.Ludwig Schrön,
Der Verleger erlaubt sich dem vorstehenden Vorworte des Herrn Verfassers hinzu-
zufügen, dass wie er, so weit seine typographische Mitwirkung reicht, seinerseits nach
besten Kräften bemühet gewesen ist, dieses Logarithmen- Werk möglichst correct aus-
zuatatten und es vor Druckfehlem zu bewahren, er auch später bereit sein wird, zur
Ausmerzung einzelner, trotz der grossen Sorgfalt des Herrn Verfassers und des Ver-
legers, etwa verbliebenen Fehler beizutragen.
Zu dem Ende bittet er Jeden, der in den Zahlen der Tafeln dieses Werkes einen Fehler
entdecken sollte, um schleunige genaue Angabe desselben mit directer Post, wogegen er
jeden derartig aufjgefundenen Fehler mit 3 Thlm. in Werken aus seinem reichen Ver-
lage zu honoriren sich erbietet. Zu dem Ende ist jedem Exemplare dieses Werkes ein
vollständiges Verzeichniss der neueren Verlagsuntemehmungen des Verlegers beigefügt
Auch sind für später aufgefundene Fehler alle zukünftigen neuen Auflagen und Ver-
lagsuntemehmungen desselben von der Wahl nicht ausgeschlossen.
Jeder aufgefundene Fehler wird alsbald derBedaction von Grunert's Archiv zur Be-
kanntmachung angezeigt werden, worauf die Verbindlichkeit zurHonorirung dieses Feh-
lers erlischt. Die Verbindlichkeit, nachgewiesene Fehler überhaupt zu honoriren, besteht
auf die Dauer von 10 Jahren.
Braunschweig, October 1859.
Friedrich Vieweg und Sohn.
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Vorrede zur zehnten Auflage.
Sei dem Erscheinen der zehnten Auflage glauhe ich Folgendes ans den l^er nicht
wieder aufgenommenen Vorreden der zweiten bis neunten Auflage wiederholen zu sollen.
Aus der Vorrede zur zweiten Auflage von 1861 : Die Vorrede zur sechsten Auflage
der Eöhler'schen Logarithmen erwähnt „eine grosse Anzahl von Verbesserungen der
achten Dedmalstelle der Logarithmen von 102001 bis 107999,^ welche nach den grosseoi
Gatastertafeln der Pariser Sternwarte gefunden sind. Eine Vergleichung mit meiner
Tafel I ergiebt, dass jene Verbesserungen sich auf die in der Vorrede Seite V Note 1
meiner Tafeln bemerkten 456 Fehler beziehen, von denen einer (log. 103000) schon
früher gefunden war, ein anderer (log. 102238) sich jedoch noch in der .sechsten Auflage
der Eöhler'schen Logarithmen als ,00961 234 vorfindet, statt ,00961 235, indem er
mehrstellig = ,00961 23451 2477 ist
Aus der Vorrede zur vierten Auflage von 1863 : Der Fehler (Nr. 8) wurde durch
eine ausgezeichnete und unermüdliche Bevision gefunden, die Gernerth"^) auch diesen
Tafeln zu Theil werden liess. Dieser Revision wurden, vorzüglich auch in der letzten Man-
tisse, mehr als 100 000 Logarithmen unterworfen, nämlich die Logarithmen der Zahlen
und die trigonometrischen Hülfszahlen iS und T (Tafel I), sowie die Tafel zur Berechnung
der Logarithmen der Zahlen (Tafel UI, S. 76), wofür ich meinen aufrichtigsten Dank
hier auszusprechen mich für verpflichtet fühle und wohl auch im Namen derer, welche
nun diese Tafeln mit noch grösserm Vertrauen auf deren Correctheit anwenden können.
Die in den Vorreden angezeigten Fehler dagegen habe ich in nachstehender „Tafel
der Fehler" zusammengestellt, theils zur bequemeren Uebersicht, namentlich für die
Besitzer früherer Auflagen, theils um später gefundene Fehler ohne besondere Vorreden
einfach in dieser Tafel anreihen zu können. ^
Eine Sichtung dieser Tafel aber giebt folgendes Besultat:
Li diesen zehn Jahren ist keine falsche Ziffer gefunden worden: in den Loga-
rithmen der Zahlen und in den trigonometrischen Hülfezahlen 8 und T (Tafel I), in den
Logarithmen der trigonometrischen Funktionen (Tafel U) , in den Beigaben zu Tafel I
imd n (Pag. 202 und 474) und in der Tafel IIL Nur in der Beigabe zu dieser ein
Fehler in der 16. Mantisse (Nr. 8). — An den Logarithmen wurden nur ein fehlender
(Nr. 5) und ein zu tilgender Strich (Nr. 24) unter der letzten Mantisse entdeckt. —
Nicht leicht Veranlassung zu einem Fehler in der Anwendung der Logarithmen dürfte
geben: Das fehlende (Nr. 9) und das zu tilgende Sternchen (Nr. 16) vor den letzten
Mantissen und die drei Fehler in den Proportionaltheilen (P. P.) (Nr. 6, 15, 17), noch
weniger die 11 Fehler in den Differenzen (Nr. 4, 7, 10 bis 14, 19 bis 21, 23) und gar
nicht die Fehler Nr. 1 bis 3, 18, 22).
*) Bemerkungen über ältere und neuere mathematische Tafeln. Von A. Gernerth. — (Beson-
ders abgedruckt aus der ZeitschriJPt f. d. österr. Gymn. 1863. Heft VI. S. 407 ff.) Wien, Carl Gerold'«
Sohn. 1863. S. 26 f.
Jena, März 1870.
Ludwig Schrön.
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0. 36. 40 lies 2. 36. 40.
0" und 40" statt 675 lies 575.
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Kurze Übersicht
Um einem in den Heidelberger Jahrbüchern
4te8 Heft) mitgetheilten Wunsche zu ent-
sprechen, fügen wir dem Werke diese Übersicht
bei, welche eine Beschreibung der Tafeln und
die wesentlichsten Hegeln für deren Gebrauch zur
bequemeren Übersicht und Erinnerung kurz zu-
sammengestellt enthält und durch die Citate der
Paragraphen und Artikel auf die weitere Ausfüh-
rung in den Einleitungen dem Zwecke derselben
gemäss '(§. 1) verweist.
Einrichtung der Tafeln.
L Tafel I. Logarithmen der Zahlen. Seite 2 — 201.
a. Seite 2 — 5.
1. Von Seite 2 — 5 enthält die mit Num, üb«r-
schriebene Spalte die ganzen Zahlen von 1 — 999
(§. 8), während die daneben (rechts) befindliche mit
Log. überschrieben e Spalte die Logarithmen der-
selben enthält, mit Weglassung der Kennziffer (Gan-
zen) (§. 3 — 7). — Zur bequemeren Handhabung
der Tafeln sind die Spalten auch unten überschrie-
ben (§. 9).
2. Die Spalte, welche je links neben der Spalte
Num. sich befindet, und mit " oder ' *' bezeich-
net ist, giebt an, wie viel Secunden, oder Minu-
ten und Secunden der zehnte Theil der ganzen
Zahl, die rechts daneben steht, betragen würde,
wenn diese Zahl Secunden bedeutet.
3. Die Fusstafel enthält die Logarithmen der
Sinus und Tangenten von 1" bis 1'40", von Se-
cunde zu Secunde.
Die mit 8 und T tiberschriebenen Spalten dienen
zum Aufschlagen von log. sin. a und log. tg. a
nach den Formeln (§. 67 — 69)
log. sin. a = 5 + log. a", log. tg.a = T + log. a",
wo a" die Anzahl der Secunden deff Winkels a
bezeichnet- Diese Tafeln gehen von 0®0'6" bis
(fi V 40", von 5 zu 5 Secunden. — Mit diesen Tafeih
steht die mit ' " bezeichnete Spalte der Haupttafel
in Verbindung.
b. Seite 6 — 185.
4. Die Haupttafel enthält in der Spalte J^um.
die ganzen Zahlen von 1000 — 9999 und in der
Spalte 0 die 7 Mantissen (§. 2) der zugehörigen
Logarithmen. Die Spalten 1 — 9 enthalten die
4 letzten Mantissen der Logarithmen derjenigen
ganzen Zahlen, die mit 5 Ziffern geschrieben wer-
den, und wovon die 4 ersten in der Spalte Num.,
die fünfte in der Überschrift der betreffenden
Spalte steht (§. 12).
5. Die drei ersten Mantissen sind in der Spalte 0
vorangestellt (§. 12).
6. Die mit P. P. bezeichnete Bandtafel
^hts) enthält 1 — 9 Zehntel der je mit ^rkerer
Schrift bezeichneten, darüber stehenden Zahl. Sie
dient zur Interpolation (§. 13).
7. Links stehen zwei Spalten, die mit Graden,
Minuten, Secunden übel*schrieben sind. Die erste
dieser Spalten ist eine Fortsetzung der unter 2
beschriebenen; sie giebt also an, wie viel Minuten
und Secunden der zehnte Theil der in Num. ste-
henden Zahl betragen würde, wenn diese Zahl
Secunden bedeutet.
Die zweite dagegen giebt an, wie viel Grade,
Minuten und Secunden dieselbe Zahl beträgt^ wenn
sie Secunden bedeutet.
Diese Spalten sind unten mit k.2, k.S be-
zeichnet, wodurch in Erinnerung gebracht ist, dass
der zehnte Theil der in Num. verzeichneten Zahlen
die Kennziffer 2 (2 Ganze im Logarithmus), die
Zahlen selbst die Kennziffer 3 haben (§. 70).
8. Die Fusstafel enthält von 0^1' 40" bis 0<> 16'
40" von 10 zu 10 Secunden (in je zwei Zeilen der
Seite links) und von 0^16' 40" bis 2^46' 40" (in den
übrigen Zeilen) die Logarithmen der Sinus und
Tangenten, so wie die Grössen 8 und T, deren
Bedeutung wie oben unter 3. ist (§. 71).
Die mit J> bezeichneten Spalten (§.72) enthal-
ten die Differenzen der links daneben stehenden
Spalten (die + oder — sind).
Die unten zugefügte Grösse Ja" bezeichnet
den grössten Fehler, den man begeht, wenn man
nach den Formeln
log. o" = log. sin. a — 5, log. a" = log. tg.a— T
rechnet und für 8 und T das wählt, was dem
nächst liegenden Winkel entspricht(§.84,2.und4.).
c. Seite 186 — 201.
9. Die Einrichtung ist dieselbe, wie für Seite 6
— 185, nur ist die erste Spielte weggefallen, die
Zahlen in Nwn. fünfstellig und die Logarithmen
mit 8 Mantissen (§. 70 und 11).
Allgemeine Bemerkangezu
10. Ist die letzte Ziffer eines Logarithmus
unterstrichen, so ist dadurch angedeutet, dass
derselbe etwas zu gross ist (§. 16).
11. Ein * in diesen Spalten bedeutet, dass
man als erste drei Mantissen nicht die in der
Spalte 0 scheinbar dazu gehörigen, sondern die
nächst folgenden wählen soll (§. 12).
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Kurze Übersichi
n. Tafel n.
Logarithmexi der trigonometrisohen Functionen.
Seite 204 ~ 473.
a. Seite ^ — 221.
12. Die Haupttafel enthält von 0« 0' 0" bis
3«0'0" von 10 — 10 Secunden fortschreitend die
Logarithmen der Sinus, Tangenten, Cotangenten
und Cosinus, wobei in der obersten Zeile die
Grade, in der ersten Spalte die Minuten und in
der zweiten die Secunden angegeben sind.
Dieselbe Tafel giebt auch die Logarithmen
der Cosinus, Cotangenten, Tangenten und Sinus von
90^0*0" bis 87® CO" in derselben Weise zurück-
Bohreitend, wenn die Spalten- Überschrift unten
gelesen wird. Die Minuten und Secunden sind
alsdann in ^en letzten zwei Spalten aufgezeichnet
(§. 66).
18. Die Randtafeln haben dieselbe Bedeutung,
wie unter 6. angegeben. — Sie beziehen sich auf
die in der Überschrift neben P.P, angegebenen
Seiten (§. 76 f.).
b. Seite 222 — 473.
14. Allgemeine Einrichtung, wie unter 12.
und 13. angegeben.— Die mit Dt^. überschriebene
und (rechts) neben der SiniM- und Co<tnu«- Spalte
stehende Spalte enthält die Differenzen der neben-
stehenden Logarithmen.
Die mit B.c. bezeichnete, zwischen der Tan-
genten- und Co^ati^c»*cn- Spalte stehende enthält
die den Logarithmen der Tangenten und Cotan-
genten gemeinschaftlichen Differenzen (§. 65).
HL Tafel IIL Int^i>olation8tafeL Seite 2 — 75.
15. Diese Tafel (Art 1) enthält:
1. Die Hauptspalte mit Z =; 0,00 bis 0,99.
2. Die Haupttafel rechts mit 10 Spalten für
die Differenzen D = 40 bis 409. Li der Zeile
der Z findet man in der Spalte der D das
vollständige Produot P = ZD.
8. Die Hülfstafel links giebt in gleicher Weise
für ({ = 1 bis 5 die Producte p = Zd mit
nur einer Decimalstelle (Art 2—4).
Gebrauch der Tafeln*
Tafel L
As Aufsuchung des Logarithmus zu einer
gegebenen Zahl
Für Zahlen, welche grösser als 108000 sind,
sucht man für die Anfangsziffern 10800 bis
107999 den Logarithmus als den nächst kleine-
ren, dessen letzte Mantisse von der letzten des
nächst grösseren subtrahirt in der rechten
Randtafel die Differenz dieser anliegenden
Logarithmen andeutet, unter welcher neben den
Zahlen 1 bis 9 das 0,1- bis 0,9fache der Differenz
als Proportionaltheil angesetzt ist (§. 13).
Zur Interpolation für die auf obige An-
fangsziffern folgende erste, zweite und etwa noch
dritte Ziffer entnimmt man den Proportionaltheü
bezüglich ganz (§.14, 17), Vio (§-27) und i/joo (§. 28)
desselben, vereinigt diese Werthe vom Kleinen
tum Grossen fortschreitend (§. 29) zu dem vollstän-
digen Proportionaltheil, dessen Ganze man
um 1 vergrössert, wenn die erste Decimalstelle
desselben 6 oder mehr als 5 beträgt (§. 17), und zu
dem nächst kleineren Logarithmus addirt, um den
gesuchten zu erhalten. Nur wenn die gegebene
Zahl der nächst grosseren der Tafel sehr nahe
liegt, ist es bequemer, rückwärts zu interpo-
liren (§. 15).
Will man statt dieser ersten Methode die
genauere zweite anwenden, so wird man, wenn
in Tafel I. und II. die letzte Mantisse der an-
liegenden Logarithmen unterstrichen oder
nicht unterstrichen ist, dem Proportionaltheü
bezüglich den Zusatz — V4 oder + Vi hinzufü-
gen (§. 16—25).
Über die dritte Methode siehe §. 26.
B. Aufsuchung der Zahl zu einem gege-
benen Logarithmus.
Für diese indirecte Aufgabe (§. 45) ergiebt dch
das Auffinden des gegebenen oder des nächst
kleineren Logarithmus und der zugehörigen
Ziffernfolge (§. 46) nach §. 49 ynd 60, wobei
log. 108 = ,0334288 die Wahl der zweiten oder
dritten Abtheilung entscheidet Der Stellen werth
wird durch die Kennziffer nach §. 47 und 48 be-
stimmt
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Kurze Übersicht,
Interpolation.
För eine zu interpolirende Ziffer entnimmt
man denjenigen Froportionaltheil unter der zugehö-
rigen Differenz, welcher dem Überschuss des gege-
benen über den nächst kleineren Logarithmus
am nächsten liegt; für zwei oder drei dagegen
den nächst kleineren, "Welcher vom Überschusse
subtrahirt den ersten Yorrath giebt und verfahrt
mit diesem, wie vorher mit dem Überschusse, wo-
bei man jedoch von den Froportionaltheilen be-
zuglich nur Vio oder Vi^o nimmt (§. 51 — 64). Für
die dritte Abtheilung wird dem gegebenen Lo-
garithmus eine Kuli angehängt und die erste De-
cimalstelle der Proportionaltheile vernachlässigt
(§. 55).
Wenn nach der zweiten Methode beide an-
liegenden Logarithmen unterstrichen sind oder
nicht, so wird man-denÜberschuss um V4 bezug-
lich vermehren oder vermindern (§. 56 — 58).
Über die dritte Methode siehe §. 59 t
Tafel n
A. Aufsucliaiig des Logarithmus einer trigo-
nometrischen Function zu einem gege-
benen Winkel.
Die Interpolation ist stets für den echten De-
dmalbruch Z erforderlich, dessen DecimalsteUen
durch die Einer der Secunden und deren Deci-
malsteUen gebildet werden (§. 67).
Von 0 bis 3 und von 87 bis 90 Grad.
(Seite 204—221.)
Für die drei ersten Logarithmenspalten
wird die Interpolation nach Tafel L ausgeführt,
welcher deshalb die Fusstafeln und die linken
Bandtafeln beigefügt worden sind (§. 67). Hierbei
liegen die Angaben und Formeln S. 1 Titel und
Übersicht und §. 68 zu Grunde und zuletzt
hg. sin, a = 5 + log. a" und log. f^. a = r+ log, a'\
Die Logarithmen von a".
Sie werden entnommen :
1. bis 1'40" aus der ersten Abtheilung mit Hülfe
der ersten Spalte eines jeden Abschnitts der
Haupttafel und bei mehreren Decimalstellen
aus der zweiten und dritten Abtheilung (§. 69).
2. Von 1'40" bis 16' 40" nach der ersten und
3. von 16'40" bis 2<^46'40" nach der zweiten der
linken Randspalten der zweiten Abtheilung.
i. Von 2<>46'40" bis 3<^ nach der einzigen linken
Bandspalte der dritten' Abtheilung, nöthigen-
faX\B durch Interpolation und nach einer der
drei Methoden.
Das unter diesen Spalten angesetzte ib. 2, h,Z
imd Jb. 4 bezeichnet die jedesmalige Kennziffer
(§.70).
Die Werthe von 8 und T.
Sie werden aus der Fusstafel mit 8 Decimal-
stellen und mit 4,685 beginnend entnommen und
iwar:
1. bis 1'40" auf Seite 2 und 4 von 6 zu 5 Secundeui
2. von 1'40" bis 16' 40" auf den linken Seiten
von Seite 6 bis 185 und
B. von 16' 40" bis 8<> auf Seite 6 bis 201 von 10 zu
10 Seounden (§. 71).
Zur Interpolation wird mit einer oder zwei
Decimalstellen von Z und dem beigesetzten B der
Proportionaltheil + ZD berechnet (§. 72 und 73).
Bei der Addition von 8 oder T zu log.a" be-
schränkt sich übrigens die Bechnung nur auf die
letzten Mantissen (§. 74, 1.).
Von 3 bis 87 Grad (Seite 222 — 473).
Die Proportionaltheile findet man von oben
nach unten für die Differenzen der dritten Diffe-
renzenspalte stets und für die der zweiten und
ersten von Seite 318 — 473 noch auf derselben Seite
und von Seite 300 — 317 zuweilen auf der Nebenseite
des aufgeschlagenen Buchs; von Seite 236 — 299 aber
fehlen anfangs vier, dann aber weniger Differen-
zen und für die auf Seite 222 — 235 noch weiter feh-
lenden findet man die geraden auf Seite 204 bis 221
(§. 75, 76).
Das Vorwärts- oder Rückwärtsinterpoliren und
die Zunahme der Logarithmen von oben nach
unten in der ersten und zweiten und von unten
nach oben in der dritten und vierten Logarith-
menspalte entscheidet über die Vereinigung durch
Addition oder Subtraction des vollständigen
Proportionaltheils P mit dem Logarithmus
L der Tafel (§. 77, 1. u. 2.), wobei ebenfalls
F = ZD ist (§.77, 3.) und wie bei den Zahlen-
logarithmen nach einer der drei Methoden ver-
fahren wird.
Muss man auf Seite 222 — 299 statt 2> die au-
nächst liegende Differenz Br der Randtafel
anwenden, so dass 2> = Dr ± 1 oder 2>r ± 2 und
P = ZDz= ZDr ± Z oder ZDr ± 2Z ist, so
wird man ± Z oder ±2Z ablesen und sogleicb
mit ^Dr vereinigen (§. 77, 4.).
Die Berücksichtigung der zweiten Differenz
J auf den ersten Seiten von Seite 222 oder von
3^0' an erfordert die Gorreotion Q (§. 77, 5.).
Hierzu nimmt man diejenige zweite Differenz J
(§.77, 6.7.), welche mit dem Logarithmus L nioht
in einer Horizontallinie liegt oder auf welche die
schiele Linie von L über 2> zeigt.
Den absoluten Werth von Q giebt mit
J und Z die Tafel (§. 77, 8.).
Der absolute Werth des Proportionaltheils
P =7. ZD wird um die Gorrection Q beim Vor-
wärtsinterpoliren vermehrt und beim Rückwärts-
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Kurze Übersicht*
interpoliren vermindert, wenn man den linken
Eingang der Tafel IL anwendet, beim rechten
Eingang dagegen nragekehrt bezüglich vermindert
oder vermehrt (§. 77, 9.)-
JB. Aufsuchung des Winkels zu einem gege-
benen Logarithmus einer trigonometri-
schen Function.
Findet sich der gegebene Logarithmus in der
betreffenden Logarithmenspalte und dadurch der
1. Spalte I log. COS. X = log, sin, a\ x =
2. .„ log.ctg.x, = log,tg,a\ x =
3. „ I cp,log.tg.x = log.tg^a] x =
so dass stets a aus log, sin. a oder log. ig. a nach
Tafel I. zu bestimmen ist (§. 84).
Zu diesem Zwecke entnimmt man unter Log. Sin.
oder Log. Tang. (§. 84, 5.) und der ersten Spalte
der Fusstafel beiläufig den gesuchten Winkel und
durch ihn nach den linken Randspalten die Ge-
gend des log. a" in der Haupttafel. Diesen be-
rechnet man in den letzten abweichenden Man-
tissen aus
log.a" =^log.sin.a — S oder log.a" = log.tg.a—T
und sucht in jener Gegend den genauen Werth
von a" (§. 84, 4.). Hierbei wird S oder T ohne
(§. 84, 2.) oder dann mit Interpolation (§. 84, 3.)
entnommen, wenn die Genauigkeit grösser als Ja'*
in der letzten Zeile sein soll {§. 84, 2.). und zwar
nach der Formel yD, in welcher a die Differenz
des gegebenen und zunächst liegenden und h die
der anliegenden Logarithmen ist, wobei eine oder
zwei der ersten von einander verschiedenen Man-
tissen zureichend sind (§. 84, 3.).
zugehörige spitze Winkel nicht genau vor , so
muss man in der Tafel I. oder 11. interpoliren (§. 82j.
Interpolation.
Von 0 bis 3 und von 87 bis 90 Grad.
Nach Tafel L Seite 1 Übersicht und §. 83 giebt
es folgende Fälle zur Bestimmung von x aus dem
gegebenen Logarithmus der Function von x in
den* drei ersten Logarithmenspalten der Tafel IL,
wobei fl < 30 ist:
90 — a I log. sin. X = log. sin. a; a? = a
90 — a log.tg.x = log.tg.a;'x = a
90 •— a I cp.log.ctg.x = log.tg.a; x ^ a
Von 3 bis 87 Grad.
Der Unterschied zwischen dem gegebenen
Logarithmus und dem der Tafel IL bildet den
vollständigen Proportionaltheü P = ZD, aus wel-
chem sich Z ergiebt. Findet sich aber nicht 2),
sondern Dr = JD + l,oder D + 2 in der Rand-
tafel vor, so entnimmt man eine oder zwei Ziffern
von Gunter D,-, um ZDr ^ ZBr^ Z oder ZD + 2^
und hieraus unter Dr das gesuchte Z zu erhal-
ten (§. 85, 1.).
Diese vorläufige Bestimmung einer Ziffer von Z
ist auch erforderlich, um bei Berücksichtigung' der
zweiten Differenz J nach der Tafel (§. 77, 8.)
die Correction Q zu erhalten, die mit entgegen-
gesetzten Zeichen (§. 77, 9.) mit P vereinigt wird
(§. 85, 2.).
Auch bei gesuchtem Winkel finden wie bei ge-
suchter Zähl die drei Methoden der Interpola-
tion ihre Anwendung (§. 84, 1. und 85, 3. und 4.).
Tafel IIL
A. Bestimmung des Proportionaltheils P.
Für Z = 0,01 bis 0,99 und D = 40 bis 409
giebt die rfaupttafel unmittelbar P^ZD (Art. 5).
» Durch geignete Multiplication oder Division
mit 10 oder 100 .. . kann man auch bei anderen
Werthen von ZnndD das gesuchte P entnehmen.
Hat Z mehr als zwei Decimalstellen und ist
I, B. -^ = 0,4532, so wird es in ein- und zwei-
riffrige Theüe zerlegt'. Z. B. Z = 0,45 + 0,32 : 100
(Art. 6 — 8).
Ist D < 40 so wird es lOfach genommen
(Art. 9 f.).
Ist IV > 409, so wird es in D' = 102> ± d
oder lOOD ± lOd' ± d u. s. w. zerlegt, wo rf<6
ist und die Hülfstafel in Anwendung kommt
(Art. 11 — 15).
B. Bestimmung der Zahl Z-
In dieser indirecten Aufgabe ergiebt sich die
Auflösung bei D < 410 von selbst (Art. 18 — 22).
Ist ein grösseres D' = lOD ± d und P* gege-
ben, so sucht man unter 10 D den dem P* zu-
nächst liegenden Werth und in derselben Zeile
10 P
■p unter d, um 10P = P'+p und dadurch ^=Jq7}
wie oben zu erhalten (Art. 22 — 26).
Den Gebrauch dieser Tafel als Multiplications-
oder Productentafel siehe Art 16, 17, 27 und 28.
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Einleitung.
Einrichtung und Gebrauch der Tafeln I. und IL
Der Zweck dieser Einleitung ist, den sich
selbst ünteTrichtenden mit der Einrichtung und
dem Gebrauche der Tafeln bekannt zu machen
und zugleich dem Lehrer und Schüler ihre Be-
mühungen möglichst zu erleichtem. Hinsichtlich
des Gebrauches der Tafeln, des sogenannten
Anfsohlagens und Interpolirens , verweisen die
Lehrbücher mit Recht auf die Einleitungen zu
denselben, weü sich bei den verschiedenen Ein-
richtungen der Tafeln nur Allgemeines und spmit
Unzureichendes darüber sa^n Hesse. Dagegen
enthalten die Lehrbücher die Theorie der Lo-
garithmen, welche daher in der Einleitung zu den
Tafeln vorausgesetzt und in der That zweckmas-
siger aus jenen Lehrbüchern entnommen werden
kann. Wir beschranken hiemach die Einleitung
auf den unmittelbaren Gebrauch der TJ^eln, hal-
ten jedoch dafür, dass dieser Zweck eine möglichst
vollständige und ins Detail gehende, durch Bei-
spiele hinlänglich erläuterte Ausfuhrung erfordert,
welche in Folgendem gegeben werden solL
Tafel L Logarithmen der Zahlen. Seite 2 — 201.
A. Aufsuchung des IiogarithmuB zu einer gegebenen ZahL
2 TafelL enthält die briggisohen odergemei-
nen Logarithmen der Zahlen 1 bis 108000 ohne
die Kennziffer (Charakteristik). Da jede der Kenn-
ziffer angefügte Decimalstelle eine Zugabe (Man-
Ussa) ist, so dürfte es dem Begriffe entsprechen-
der und zugleich einfacher sein, diese De oi mal-
stellen als Mantissen zu zählen, also z. B.
sieben Mantissen, statt sieben Decimalstellen der
Mantisse, die achte Mantisse, statt die achte Decimal-
stelle der Mantisse, zu sagen.
3 Die Kennziffer wird nach folgenden Begeln
bestimmt. Die Kennziffer des Logarithmus einer
ganzen Zahl oder eines unechten Decimal-
brnches hat so viel Einheiten weniger eine, als
die ganze Zahl Ziffern oder der unechte Decimal-
brudi ganze Stellen hat. So haben z. B. die Loga-
rithmen der Zahlen 988 und 983,42 die Kennziffer 2.
4 Die Kennziffer des Logarithmus eines echten
Decimalbruches wird nach verschiedenen Begeln
bestimmt, von welchen die erste in dieser Einlei-
tung in Anwendung kommen wird. Diese Kenn-
ziffer bekommt nämlich so viel Einheiten weni-
ger als 10, als den bedeutsamen Ziffern des Deci-
malbraches Nullen vorangehen, einschliesslich der
Kuli in der Stelle der Einer, oder man bekommt
die Kennziffer, wenn man von 9 die Anzahl der
Nullen nach dem Komma abzieht. 'Gleichzeitig
ist aber dem Logarithmus die negative Kennziffer
— 10 anzuhängen.
z. B. log. 0,494 = 9,6937269—10
log. 0,0009 = 6,9542425—10
Nach einer zweiten Kegel werden den Mantis- 5
sen des Logarithmus eines echten Decimalbruches
0 Ganze (0,) vorangesetzt und als negative Kenn-
ziffer eine Zahl von so viel Einheiten angehängt,
als den bedeutsamen Ziffern des Decimalbruches
Nullen vorangehen, einschliesslich der Null in der
Stelle der Einer.
Z. B. log. 0,494 = 0,6937269— a
log. 0,0009 = 0,9542425—4
Nach einer dritten Begel wird diese angehängte 6
negative Kennziffer an die Stelle der 0 Ganzen, das
Minuszeichen jedoch darüber gesetzt. Z. B.
20^.0,494=1,6937269; log. 0,0009 = 4,9542425.
Die Mantissen des Logarithmus einer Zahl 7
sind nur bedingt durch die Beihenfolge der be-
deutsamen Ziffern dieser Zahl, (Ziffemfo]ge),
nicht durch die etwa angehängten oder durch die
in einem Decimalbruche vorangehenden Nullen,
also überhaupt nicht durch die Stellung des De-
cimalkommas. So haben z. B. die Logarithmen
1
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§. 7 - 16.]
Tafel L A. Logarithmus einer Zahl gesucht
der Zahlen 884, 88400, 0,0884, 3,84 sämmtlich die-
selben MantiBsen.
8 Die Mantissen enthält die Tafel, und zwar in
drei Abtheilungen (vergL S 1 „Übersicht" unter
dem Titel)
in der ersten Abtheilung ] mit
S. 2 bis 5 für die Zahlen 1 bis 999 f sieben
in der zweiten Abtheüung l Man-
S. 6 bis 186 für die Zahlen 1000 bis 99999/ tissen,
in der dritten Abtheilung
S. 186 bis 201 für die Zahlen 100000 bis 107999
mit acht Mantissen.
9 Jede Seite der ersten Abtheilung besteht
aus der Haupttafel oberhalb und aus der Fuss-
tafel unterhalb der durchgehenden doppelten
Querlinie. Die Haupttafel zerfällt in fünf Abschnitte
und jeder derselben in drei Spalten. Die erste
Spalte, sowie die ganze Fusstafel bezieht sich auf
die trigonometrischen Functionen und büdet einen
Zusatz zur Tafel H. Die zweite Spalte {Num,) ent-
hält die Zahlen und die dritte Spalte (Log.) die
sieben Mantissen des zugehörigen Logarithmus.
10 Jede Seite der zweiten und dritten Ab-
theilung (S. 6 bis 201) enthält folgende Theile:
1. die Haupttafel, welche an den vier Ecken
mit Num. und 9 bezeichnet ist;
2. die Fusstafel, 'welche sich unterhalb der
durchgehenden doppelten Querlinie befindet und
sich ebejiso wie
8. die linke Randtafel auf die trigonome-
trischen Functionen bezieht und einen Zusatz zur
Tafel n. bildet;
4. die rechte Randtafel, welche oben mit
P. P. bezeichnet ist und mit der Haupttafel eigent-
lich die Tafel der Logarithmen bildet. Auf S. 6
ist die rechte Randtafel unausgefullt, dagegen bil-
det auf S. 8 bis 16 der rechte Theil der Fusstafel
noch einen Bestandtheil dieser rechten Randtafel.
11 In der Haupttafel S. 6 bis 201 findet man nun
neben jeder Zahl der mit ^um. bezeichneten Spalte
(Spalte Num.) in der Spalte 0 die Mantissen des
zugehörigen Logarithmus und zwar für die Zahlen
1000 bis 9999 mit sieben und für die Zahlen 10000
bis 10799 mit acht Mantissen, wobei dort die
' drei ersten und hier die yier ersten Mantissen,
so lange sie unverändert bleiben, nicht wieder
angesetzt worden sind. So ist z. B.
(S. 29) log. 21,88 = 1,8890537 und
log. 0,02184 = 8,8392526—10, femer
(S. 197) log. 1067300 = 6,02419823.
12 Für die Logarithmen der Zahlen 10000 bis 107999
kommen die sogenannten doppelten Eingänge in
Anwendung. Man sucht nämlich die gegebene Zahl
ausschliesslich der letzten Ziffer rechts in der
Spalte Num., wodurch die Zeile bestimmt wird.
Die lezte Ziffer sucht man unter den in der ersten
und letzten Zeile der Haupttafel angesetzten Ziffern
0, 1, 2 ... 8, 9, wodurch sich die Spalte ergiebt
Dort, wo jene Zeile durch diese Spalte durch-
schnitten wird, befinden sich die vier letzten
Mantissen des gesuchten Logarithmus. Die drei
(S. 6 bis 165) oder die vier ersten Mantissen
(S. 186 bis 201) findet man in der Spalte 0 und
zwar, wenn vor den vier letzten Mantissen ein
Sternchen (*) sich befindet, in der folgenden Zeile,
ausserdem in derselben oder in einer der darüber
befindlichen Zeilen.
Z. B. (S. 9) log. 119,13 = 2,0760211; (S. 193)
log. 10382,6 = 4,01630612; (S. 87) log, 0,050828 =
8,7061030—10; (S. 191) log. 1,02664 = 0,01141818;
(S. 41) log. 27,835 = 1,4445912; (S. 197) log. 0,00105558
= 7,02349115—10.
Für Zahlen, welche grösser als 108000 sind, 13
werden die Logarithmen durch Interpolation
gefunden. Man betrachtet die ersten fünf oder
sechs Ziffeni (10800 bis 107999) der gegebenen Zabl
nur behuf der Interpolation als Ganze und sucht
nach §. 12 den zujgehörigen Logarithmus auf.
Dieser ist in Bezug auf den gesuchten Logarith-
mus der nächst kleinere, der in der Tafel zn-
nächst folgende ist der nächst grössere nnd
der gesuchte Logarithmus fallt zwischen diese
beiden anliegenden Logarithmen. Man berechnet
dann deren Differenz und sucht sie unter den
Überschriften der Proportion altheile (P. P.
oder Partes proportionales, Prpthle) in der rechten
Randtafel (§.10,4), zu welchem Zwecke es genOgt,
nur die letzte Mantisse zu subtrahiren, um wegen
der Wahl der Tafel unter P. P. ausser Zweifel zn
sein. Diese Proportionaltheiie enthalten das 0,1- bis
0,9fache der darübergesetzten Differenzen neben den
Zahlen 1 bis 9. ScÄht man z. B. den Logarithmna
von 97531,6, so ist nach S. 181
der nächst kleinere log. 97581 = 4,9891427 und
der nächst grössere log. 97532 = 4^9891471,
daher deren Differenz 44,
wo sich aus der Berechnung ron 11 — 7 = 4 schon
ergiebt, dass die Prpthle unter 44 in Anwendung
kommen müssen.
Da die Differenzen jener Differenzen oder die 14
zweiten Differenzen, die in der zweiten und drit-
ten Abtheilung dieser Tafel 0 und 1 betragen, so
klein sind, dass ihr Einfluss auf die interpolirte
Zahl yemachlässigt werden kann; so kann man
die Differenzen der Zahlen den Differenzen ihrer
Logarithmen proportional setzen. In obigem Bei-
spiele ist die Differenz der Zahlen = 1 , die der
Logarithmen = 44 Einheiten der letzten Mantisse
und die der gegebenen Zahl und der nächst klei-
neren =0,6. Man wird daher das Product 0,6 X 44
= 26,4 aus der Randtafel unter 44 neben 6 zu
entnehmen und als 26 zu dem nächst kleineren
Logarithmus 4,9891427 zu addiren haben, um den
gesuchten Logarithmus 4,9691453 zu erhalten.
Wenn, wie im obigen Beispiele, die gegebene 15
Zahl der nächst grösseren näher liegt sJs der
nächst kleineren, so kann man auch für das an
jener Fehlende (0,4) rückwärts interpoliren.
Man entnimmt nämlich aus der Randtafel unter
derselben Differenz 44 neben 4 den Prpthl 17,6
und subtrahirt ihn als 18 ron dem nächst
grösseren Logarithmus 4^9891471, um den ge-
suchten Logarithmus 4|9891453 zu erhalten.
Da die Logarithmen der Zahlen, wenn letetere 16
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Tafel L A. Logarithmus einer Zahl gesucht
[§. 16 — 22.
nicht Potenzeh von 10 sind, unendliche Decimal-
brache bilden, so müssen dieselben bei irgend einer
Mantisse abgebrochen und in die Tafel eingetra-
gen werden.
Beträgt der vernachlässigte Theil der Mantissen
mehr als eine halbe Einheit der letzten beibehal-
tenen Mantisse, so wird letztere um 1 vergrössert.
In diesem letzteren Falle ist stets in der
Tafel L und U. die letzte Mantisse unter-
strichen. Dieser Strich bedeutet daher
durchschnittlich — Vi Einheit, oder — 0,25
oder — 0,3 Einheiten der letzten Mantisse,
.wahrend bei den Logarithmen, wo unter
der letzten Mantisse dieser Strich fehlt,
+ % Einheit, oder -f 0,25 oder + 0,3 Ein-
heiten der letzten Mantisse hinzugedacht
werden können. Dieser Zusatz 7 % ist in Fol-
gendem der Kürze wegen gewöhnlich durch ^T an-
gedeutet, indem dem Logarithmus bezüglich das
Zeichen — oder -{- angehängt ist.
17 Nimmt man auf das Vorhandensein oder den
Mangel dieses Striches keine Bücksicht, wozu
man in allen Tafeln, welche eine solche Bezeich-
nung der letzten Mantisse nicht aufgenommen ha-
ben, genöthigt ist; so kann aus der Tafel nur er-
kannt werden, dass der wahre Werth z. B. des
obigen nächst kleineren Logarithmus zwischen
4»9e9142a5 und 4,96914275, oder nach einer ein-
fiusheren Bezeichnungsweise zwischen ^^ 65 und * '75
liege. Es bezeichnet nämlich das Sternchen (*)
irgend welche hier nicht in Betracht kommenden
Pecimalstellen und die kleine vorgesetzte Zahl (7)
die Stellenzahl der ersten angegebenen Deoimal-
etelle (6 und 7), bei Abwesenheit des Sternchens
aber die vorangehenden Nullen des echten Deci-
malbmches, z. B. F -=: *b = 0,00000005. Der
mittlere Werth aller zwischen *'65 und ♦'75
möglichen Bruche ist aber * '70, welchen man da-
her bei der Interpolation so anzuwenden hat, als
ob die letite Mantisse (7) eine völlig genaue Zahl wäre.
Die Decimalstellen des zu vereinigenden
Prt>thl8 werden dadurch berücksichtigt, dass man
diesen um 1 vergrössert, wenn jene Stellen 5 oder
mehr betragen. Hierin besteht die erste Me-
thode der Vereinigung des Prpthls mit dem Lo-
garithmus der Tafel, zugleich als die allein mög-
liche für den im Anfange dieses Paragraphen be-
zeiehneten Fall, in welchem für den wahren zwi-
schen *'65 und ♦•75 liegenden Werth der Loga-
rithmus ^'70 angenommen wird. Diese Annahme
W"Ti demnach den Fehler von 0,00000005 = '05
nicht erreichen, oder es ist '05 d. h. V, Einheit
der letzten Mantisse die Grenze des Fehlers eines
jeden Logarithmus der Tafel in dem erwähnten
Falle.
18 Diese (xrenze des Fehlers verkleinert sich jedoch
bei Berücksichtigung des Striches auf die
Hälfte oder auf V4 Einheit der letzten Mantisse.
Ist diese nämlich unterstrichen, wie bei dem nächst
kleineren Logarithmus (§. 18), so liegt der wahre
Werth nach §. 16 zwischen ♦'Oö und ♦'70, und der
wtüere Werth ist = *'675 = ^'7 — '025. Diese
— 0,25 Einheiten der letzten Mantisse müssen
demnach als negative Grösse dem Logarithmus der
Tafel hinzugefügt werden, wodurch sich die wei-
tere Bedeutung des Striches ergiebt und die Grenze
des Fehlers eines jeden unterstrichenen Loga-
rithmus der Tafel auf \ Einheit der letzten Man-
tisse herabsinkt. Ist diese dagegen nicht unter-
strichen , wie bei dem nächst grösseren Log^arith»
mus (§. 18), so liegt der wahre Werth zwischen
♦'10 und ♦'lö, und der mittlere Werth ist ^'126
= ♦ '1 + '025. Diese -f- 0,25 Einheiten der letzten
Manüsse l^ezeichnen demnach die weitere Bedeutung
eines nicht unterstrichenen Logarithmus, wodurch
die Ghrenze des Fehlers auch bei diesem auf y«
Einheit herabsinkt.
Nach der zweiten Methode der Vereinigung 19
des Prpthls mit dem Logarithmus der Tafel muss
man letzteren nach §. 16 mit dem Zusätze — %
oder -^ y« in Rechnung nehmen und den Einfluss
dieses Zusatzes auf die Differenz beräoksichtigen,
wobei zwei Fälle zu unterscheiden sind. ^
1. FalL Je der der anliegenden Logarithmen ist 20
unterstrichen und hat den Zusatz — y«, oder
jeder derselben ist nicht unterstrichen und
hat den Zusatz -)- y«. Die Differenz dieser Loga-
rithmen, in welcher die Zusätze y« verschivinden,
bleibt demnach genau dieselbe, wie bei der ersten
. Methode, und somit auch der Prpthl, so dass nur
bei der Vereinigung desselben mit dem Logarith-
mus der Tafel dieser mit dem Zusätze — \\
oder -{- y« in Rechnung kommt, was bei der er*
sten Methode nicht geschah. Man wird daher den
Prpthl mit dem Zusätze vereinigen, über die De-
cimalstellen des vollständigen Proportional-
theils in der bekannten Weise verfugen und die
Ganzen desselben mit dem Logarithmus der Tafel
vereinigen.
2. FalL Es ist nur einer der anliegenden 21
Logarithmen unterstrichen. In diesem seltene-
ren Falle könnte man nach der ersten Methode
verfahren, weil hier die Vernachlässigung des Zu-
satzes V4 meistens von geringer Bedeutung ist
Aber theils um dies nachzuweisen, theils um auch
für diesen Fall eine Anleitung zu geben, wie die-
ser Zusatz berücksichtigt werden kann, mögen fol-
gende Betrachtungen dienen:
Es sei zunächst 22
L und L* der nächst kleinere und der nächst grös-
sere Logarithmus der Tafel und
D die Differenz dieser Logarithmen. Diese sei
mit dem echten Decimalbruche
Z zu multipliciren, wenn vorwärts, und mit
Z\ wenn rückwärts interpolirt werden solL End-
lich seien
P := ^D und P =: ZD die entsprechenden
Proportionaltheile.
Dann ist, je nachdem der nächst kleinere
Log^thmus unterstrichen ist oder nichts mit
Rücksicht auf den Zusatz y«
L — y4)X4~ V4 der nächst kleinere Logarithmus und
X'+y.;i'— y* n w grössere „ folglich
D-j- %\I>— % die Differenz dieser Logarithmen.
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§. 22 — 28.]
Tafel I. 'A. Logarithmus einer Zalil gesucht
4
Beim Vorwärteinterpoliron (§. U) ist
demnach, P = ZB gesetzt,
P -|- VfZ; P — y,Z der Prpthl, welcher zu obi-
gem nächst kleineren Logarithmus addirt
Ä + p-(y4-%^; i+-p+(y4-v.^ als
gesuchten Logarithmus giebt.
Beim Rückwärtsinterpoliren (§. 15)
dagegen ist, P* = Z'D gesetzt,
P+- %^'; P' — V,Z^ der Prpthl, welcher von
obigem nächst grösseren Logarithmus sub-
trahirt
i'-.P4.(y,- V.Z'); 2/-P'-(y4-%^4als
gesuchten Logarithmus giebt.
23 wahrend demnach i + P, i' — P* die ge-
suchten Logarifhmen nach der erstön Methode
darstellen, enthält die Elammergrösse
; y^ — % i); {Va — V« Z') den Einfluss des Zusatzes
Vi nach dem zweiten Falle der zw e it en Methode,
wobei das Zeichen der Elammergrösse dem des
Zusatzes y« entspricht und
_y^; ^u i/^z* die Oorrection dieses Zusatzes
V, bezeichnet, der im ersten Falle der zweiten
Methode ganz unverändert angewendet wurde.
Hiemach ergiebt sich folgendes Verfahren :
Man vermindert in dem vorliegenden
zweiten Falle den Zusatz y« um die Hälfte
von Z oder Z* und verfährt mit dem Reste
wie im ersten Falle mit dem ganzen Zusätze.
24 Für die besonderen Werthe von Z und Z' ist
zu bemerken, dass far Z oder Z* = 0,5 auch der
Einfluss des Zusatzes im gegenwärtigen Falle =r 0
ist; dass derselbe aber mit abnehmendem Werthe
von Z oder Z' wächst und für Z oder Z' = 0 in
y4 übergehen würde.
25 Für die zweite Metho'de ergeben sich nun
nach §. 20 bis 24 folgende Regeln for die Vereini-
gung des Prpthls mit dem Logarithmus der Ta-
föL Der ohne Interpolation aus der Tafel L oder
n. entnommene Logarithmus wird neben der sie-
benten Mantisse mit dem Zeichen — oder 4~ ver-
sehen, je nachdem die siebente Mantisse unter-
strichen ist oder nicht Nimmt man den Loga-
rithmus aus der 8. Abtheilung der Tafel L, so
wird die achte Mantisse abgeschnitten und wenn
sie 5, 6, 6 ...8, 9 oder 9 ist, das Zeichen — , dagegen
wenn sie 1,1,2...4,4 oder 5isi^ das Zeichen -{-beigesetzt.
1. Fall. Ist in beiden anliegenden Logarith-
men die letzte Mantisse unterstrichen oder
nicht unter strichen^ so fugt man bei der Ver-
einigung des Logarithmus der Tafel mit dem Pro-
portionaltheüe diesem bezüglich den Zusatz — V«
oder 4" Vi hinzu.
2. Fall. Ist dagegen die letzte Mantisse nur
eines der beiden anliegenden Logarithmen unter-
strichen, so vermindert man
a. sobald Z oder Z' < 0,5 ist, den Zusatz y«
um ys Z oder % Zf und verfährt mit dem so
oorrigirten Zusätze wie mit dem ganzen im 1. Falle.
b. Liegt jedoch Z näher an 0,5, to verfährt man
nach der ersten Methode.
26 Die dritte Methode der Vereinigung des
Prpthls mit dem Logarithmus der Tafel bezweckt
überhaupt eine schärfere Rechnung mit sieben-
stelligen Logarithmen durch Hinzufügung der
ersten Decimalstelle der siebentenMantisse.
1. Wird aus der Tafel I. oder H. ein Logarith-
mus ohne Interpolation entnommen, so wird
neben die siebente Mantisse statt der ersten De-
cimalstelle derselben das Zeichen — oder 4~ g^
setzt, je nachdem jene Mantisse unterstrichen ist
oder nicht, wie im Anfange des vorigen Para-
graphen. Nach §. 16 bezeichnet + bezüglich
den Zusatz q: y« oder + 0,25 oder + 0,3 Ein-
heiten der siebenten Mantisse. Wird jedoch
der Logarithmus einer Zahl aus der dritten Ab-
theilung der Tafel I. mit acht Mantissen entnom-
men, so wird die achte Mantisse sofort als erste
Decimalstelle der siebenten in der Rechnung an-
gesetzt, z. B. der kleinere Logarithmus (§. 13) als
4,9891427- und der grössere als 4,9891471+, da^
gegen (S. 189) log. 101,717 = 2,0073935.4,
2. Wird der Logarithmus durch Interpola-
tion entnommen, so wird bei der Vereinigung
des Logarithmus der Tafel mit dem vollständigen
Prpthl (§.20)auchdie erste Decimalstelle des letzteren
in Ansatz gebracht Z. B. (§. 18 bis 15) log. 97581,6
:= 4,9691453.4 mit dem Fehler 0,88 Einheiten
der achten Mantisse oder JP = *9, während nach
der 1. Methode (§. 14) JF' = «5 war.
Hat man nicht nur for eine Ziffer (wie §. 13 27
bis 15), sondern für zwei Ziffern zu inter-
poliren und z. B. log. 657,6546 = x (S. 117) zu
entnehmen, mithin bei D = 66 das Product P =
0,46X66 = 30,36 = 80,4 zu berechnen, so kann
man auch hierzu die Randtafeln anwenden. Weil
nämlich 0,46 = 0,4 -|- yioXO,6 ist, so wird man
von den Prpthlen unter der Differenz 66 den ne-
ben 4 stehenden, also denWerth 26,4 unverändert
(wie §. 14), von dem neben 6 stehenden aber nur
Vio, also den Werth y,oX39,6 = 4,0 entnehmen
und addiren. Dies giebt for die 1. Meth. (§. 17)
P = 80,4 = 80, fär die 2. Meth. (§. 20 und 25, l.)
P = 26,4 + 8,96 + 0,25 = 30,6 = 31 und far
die 3. Meth. (§. 26, 2.) bleibt P = 80,6.
Nun ist zehnstellig
X = 2,8179978.622
und der nächst kleinere Logarithmus der Tafel
2,8179948.
Hierzu nach der 1. Meth. -|- 30 ist
X = 2,8179978 und F = «6,
dann nach der 2. Meth. 4- Bl ist
X = 2,8179979 und P" = «4
und nach der 8. Meth. -f- 30,6 ist
X = 2,8179978.6 und P = »2.
Bei grossen Differenzen, wie auf S. 7 ff., wird 28
die Interpolation für eine dritte Ziffer,
mithin die achte Ziffer der Zahl oft noch einen
Einfluss auf die siebente Mantisse ausüben, z. B.
log. 0,012345678 = x (S. 10). Hier ist Z = 0,678
= 0,6 + Vio X 0,7 -f V,ooXO,8, daher unter
D = 352 für die 1. Meth. P = 211,2 + 24,64
-f 2,82 = 238,66 = 239, far die 2. Meth. w^^en
— 0,25 aber P=238,41=238 und für die 3, Meth.
P = 238,4. Kun ist zehnstellig
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Tafel I. A. Logarithmus einer Zahl gesucht
[§, 28 — sa
« = 8,0915149.455—10
and der n&chst kleinere Logarithmus
8,0914911.
Hierzu nach der 1. Meth. -|- 289 ist
X = 8,0915150 und F z=z »54,
dann nach der 2. Meth. + 288 ist
X = 8,0915149 und JF' = «46
und nach der 8. Meth. + 238,4 ist
! X = 8,0916149.4 und J^ = »55.
t9 Zur Vermeidung der schriftlichen Hülfs-
rechnungen wird man vom Kleinen zum Gros-
sen fortschreiten und dabei die Zahlen von der
Linken zur Rechten lesen. Z. B. für die 2. Meth.
— 0,25 4- 2,82 = 2,57 und. + 24,64 = 27,2 zu
211,2 = 238 zu **4911 = **5149.
10 Statt der Prpthle der rechten Bandtafel kann
man auch die Interpolationstafel (Tafel III.)
anwenden. Einen weit grösseren Yortheil gewäh-
ren diese bei ihrer Anwendung auf die Tafel II.,
in welcher (S. 222 Spalte 6) die Differenzen bis
auf 4031, in der Taf el L (S. 186) nur bis auf 485
steigen. Hierauf aber beruht die Bestimmung
des ümfSuiges jener TafeL Um denselben n&m-
lioh unbeschadet des bequemen Gebrauchs mög-
lichst zu beschranken, wurde D = 40 bis 409
bestimmt (Art 8, nämlich der in Artikel abge-
theilten Einleitung zu der Tafel III. zum Unter-
schiede von den Paragraphen der gegenwär-
tigen Einleitung). Hierdurch gestatten jene grös-
seren Differenzen (bis 4081) noch die einfachste
Anwendung der Hülfstafel (Art 4, II und 28).
31 Für die Tafel I. sind freilich selbst bei drei zu
interpolirenden Ziffern die Bandtafeln sehr bequem
imd es muss der Individualität des Bechners über-
lassen bleiben, ob er die noch grössere Bequem-
lichkeit der Tafel HI. mit einem besonderen Auf-
schlagen derselben erkaufen will. Für diesen Fall
mag die nachfolgende Anleitung dienen:
1. Ist i> = 40bis409, so giebt schon die Haupt-
tafel unmittelbar P für zwei (Art 5) und mittel-
bar für drei und vier (Art 6) Ziffern der Zahl.
1. Beisp. (§.27) log. 657,6546 = a? (S. 117). Hier
ist far D = 66 und Z = 0,46 (Art 5, S. 6) sofort
P = 80,86 wie nach §. 27.
2. Beisp. (§.28) 2o^. 0,012845678 = 2o^. o; (S.10).
Hierist für D = 852 und Z = 0,678 (Art 6, S.65)
P = 285,84 + 2,82 = 288,66 wie nach §. 28.
2. Ist aber D =s 411 bis 485 wie S. 166 bis 197,
80 wird nach Art 11 bis 18 auch die Hülfstafel
angewendet
1. Beisp. Es sei D =r 428 = 430 — 2 (Art. 11,
S. 2) und Z = 0,48, so ist P = 206,4 — 1,0 =
205,4, wie- nach den Bandtafeln (S: 188) 171,2
-f- 84,2 == 205,4.
2. Beisp. Ist aber JD = 413 = 410 -|- 8 und
Z = 0,648 = 0,64 + 0,0080, so ist (S. 8) P =
262,4 -f- 1,9 + 3,3 (statt 32,80) = 267,6, wie nach
8. 195 P = 247,8 + 16,5 + 8,8 = 267,6.
Die achtstelligen Logarithmen der
sechsziffrigen Zahlen in der 3. Abthei-
lung dienen nicht bloss dazu^ die Interpolation
für eine Ziffer zu ersparen, wozu sieben Mantissen
zureichend und bequemer, wenn auch weniger ge-
nau gewesen w^en, sondern genauere sieben«
stellige Logarithmen durch Abschneiden der ach-
ten Mantisse zu erhalten und höhere Potenzen der
Zahlen, deren drei ersten Ziffern kleiner als 108
sind, genauer zu berechnen. Der grösste Vor-
theil dieser 3. Abtheilung in Verbindung mit den
linken Rand- und den Fusstafeln (§. 10, 2. und 8.)
wird sich bei den trigonometrischen Functionen
herausstellen.
Als Beispiel für höhere Potenzen sei log, (1,024)** 34
= 25 log. 1,024 = x (S. 190).
Mit achtstelligen Logarithmen ist nach der
I.Met h. aj= 25 X 0,0102999.6 = 0,2574990.0,
nach der 2. Meth. aber muss auch der Zusatz— y«
mit 25 multiplicirt und als — ®6 und
nach der 3. Meth. als — ^63 mit obigem Logarith-
mus *"90.0 vereinigt werden.
ZehnsteUig ist a; = 0,2574989.160
und nach der 1. Meth. x = »W.O und F=: ''84,
nach der 2. Meth. x = ♦•89.4 und F= ^
und nach der 3. Meth. x = ♦•89.37 und F=«21.
Mit den sieben steiligen Logarithmen (S. 6) 35
der 2. Abtheilung erhält man
nach der 1. Meth. ä = **5000 und F=«ll,
nach der 2. Meth. a? = ♦*4994 und F='48
und nach der 3. Meth. x == ♦*4993.7 und ^==^45.
Genauere siebenstellige Logarithmen er- 36
hält man durch Abschneiden der achten i Mant^se
von den obigen achtstelligen, nämlich
nach der 1. Meth. x = ♦*4990 und jF'=»84,
nach der 2. Meth. x = »^4989 und F= "16
und nach der 8. Meth. x = ♦*4989.4 und jF'=«24.
Soll ein echter Bruch, dessen Logarithmus 87
nach §. 4 die negative Kennziffer — 10 hat, auf
eine ganze Potenz erhoben werden, so muss
man nach der Multiplication dieses Logarithmus
mit dem Exponenten von der positiven und nega-
tiven Kennziffer die Zehner der positiven subtra-
hiren, um den Logarithmus der Potenz auf die
einfachste Form zurückzufuhren. Z. B.
log. (0,01149841)» = 8 log. 0,01149841 = x.
Nun ist ?oflf. 0,01149841 =8,0606378 — 10, also
X = 24,1819134—80 und in einfacherer Form
X = 4,1819184—10. ZehnsteUig, aber aus vier-
zehnstelligen abgeleitet, ist
X = 4,1819188.708 — 10, daher F z=z «8.
Soll umgekehrt aus einem echten Bruche eine 38
Wurzel gezogen werden, deren Exponent n eine
ganze Zahl ist, so muss man vor der Division
durch diesen Exponenten n zur positiven und ne-
gativen Kennziffer des Logarithmus jenes Bruches
(n — 1) 10 addiren, um als negative Kennziffer
-~ 10 n und nach der Division — 10 zu erhalten, z. B.
log. ]^ 0,00749375 = % log. 0,00749875.
Da durch die Division mit dem Exponenten auch
der Zusatz und überhaupt der Fehler des Loga-
rithmus dividirt wird, so wird der Quotient um
so genauer, je grösser der Exponent ist. Es
wird daher auch bei §. 25, 2. a nur die 1. und
8. Meth. in Betracht kommen können. Nun
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§. 38 - 41.]
Tafel L A. Logaiithmus einer Zahl gesuclib
6
40
irt « = Vi log. 0,00749375 = % (7,8746992—10)
= Vi (87,8746992—90) = 9,7638555—10 und nach
der 8. Meth. = ♦'4.7 — 10, dagegen zehnstellig
« = ♦'4.667, daher bezügUch F=: »33 und F= •33.
Wenn bei der Berechnung einer Potenz der
Exponent eine mehrziffrige Zahl und für
die Multiplication mit demselben die Anwendung
der Logarithmen vortheilhaft ist, so muss man von
dem Logarithmus des Dignanden wiederum den
Logarithmus nehmen. Z. B.
log. (2,7182818«'«««>) = 2,3025851 log. 2,7182818 = x.
Da log. 2,7182818 =: 0,4342945 (S.40 und = 2f
8. 202) 'ist, so ist
X = 2,3025851X0,4342945 und
log. X = log. 2,3025851 + log. 0,4342945
= 0,3622157 (S.32) + 9,6377843 — 10 (S. 72)
= 0,0000000 oder
a? = 1 und 2,7182818«'««»*» = 10-
Ist in vorstehendem Falle der Dignand, oder
ist der Radikand ein echter Bruch, so bedient
man sich am einfachsten des negativen Logarith-
mus des echten Bruches. Z. B.
log. y 0,012345678 = ^^
02012346678
= X,
2,345678
Nach §. 28 ist nach der 1. Meth.
log. 0,012345678 = 8,0915150—10
= — 1,9084850,
nach der 2. Meth.
log. 0,012345678 = ♦•49—10
= — ♦•51
uud nach der 3. Meth.
log. 0,012345678 = ♦•49.4—10
= — ♦•50.6.
In solchen logarithmischen Rechnungen mit
zum Theil negativen Zahlen erinnert ein den Lo-
garithmen derselben angefugtes » daran, dass die
Zahlen negativ sind. Der durch die Vereinigung aller
Logarithmen erhaltene Logarithmus gehört dum
zu einer positiven oder negativen ZaJ&l, je nach-
dem die Anzahl der » eine gerade oder ungerade ist,
wo dann im letzteren Falle dem erhaltenen Loga-
rithmus wiederum ein » angefugt und die zu ihm
gehörige Zahl negativ genommen wird. Die Reeh-
nung ergiebt nun nach der 1. Meth.
log. log. 0,012345678 = 0,2806888»
log. 2,345678 = 0,3702684
log. X =
nach der 2. Meth.
log. log. 0,012345678 =
log. 2,345678 =
9,9104204»-lO,
♦»888»
♦»684
log. X =
und nach der 3. Meth.
log. log. 0,012345678 =
log. 2,345678 =
♦»204»-10
♦»887.8»
♦»684.0
log. X = ♦»203.8n— 10,
wozu in den erforderlichen sieben Decimalstellen
nach jeder Methode die Zahl a; = — 0,8186177
gehört. Diese negative Zahl x ist demnitch der
Logarithmus der gesuchten Wurzel w und, durch
Vereinigung mit 4-10 — 10 auf die gewöhnliche
Form gebracht, x =: 9,1863823—10 = log. w,
wozu die Zahl w = 0,15359685 gehört (s. §. 66).
Wollte man zu den positiven Logarithmus,
0,8136177 die Zahl a suchen, so müsste man mit a
noch in 1 dividiren, um w zu erhalten, weil
a? = — log. a
^' a
log, fff und da-
her — =
a
VB ist
In nachfolgendem Beispiele' ist die Vereinigung 41
von sechs Logarithmen in dreierlei Weise den
Formeln entsprechend ausgeführt, deren dritte
(§. 42) in der Anwendung des logarithmischen Com«
plements besteht
, ^ 0,012126 X — 0,29412 X 53601,55 _ , ahc
^' 0,0012084 X l3,öaö(tö X — 060,4 *^^' aßy
= (log. a + log. h + log. c) — Qog. a -f log. ß + log. y) z= log. g •-' log. »
= (log. a + log. h -j- log. e — log. a -^log. ß ^ log. y) = log. x
=5 Qog. a -j- log. b -j- log. e + cp. log. a + cp. log. ß + cp. log. y) = log. x.
log. a
log. b
log. €
1 Method
log
8,0837176
9,4685246»
4,7291774
le.
F
•86
•43
•52
2. Methoc
log.
♦•76-
♦•46-Hi
♦•73
le.
F
ni
•18
•48
8. Methoc
log.
♦•76-
♦•46-»
♦•73.3
le.
F
ni
•18
•18
Zehnsteüig
♦•75^9
♦•45.573»
♦•73.484
log. z
2,2814196»
ns
♦•94»
•70
♦•94.8»
•10
♦•94.696»
log. a
log.ß
log. y
7,0822107
1,1152120
2,9779064»
•17
•24
"28
♦•07+
♦•20
♦•64+»
•84
•24
•26
♦•07+
♦•19.7
♦•64+»
•84
•60
•26
♦W.166
♦•19.760
♦•64.276»
log. n
1,1753291»
•20
♦•92»
»80
♦•91.2»
1*2
♦•91.202»
log. g —log. n
log. X
1,1060905
1,1060905
♦•02
♦•08
•49
♦W.6
♦W.6
•11
•11
♦•03.494
♦W.494
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Tafel I. A. Logarithmus einer Zahl gesucht
[§. 41 - 49.
Dass nach §. 17 stets eine yernachläsBigte 5 als
1 der nächst höheren Stelle angenommen wurde,
hat bewirkt, dass bei log, n nach der 2. Meth.
F= •80 wnrde, während ohne jene 1 der Loga-
rithmus *^1 nnd anch nur JP = "20 entstanden
wäre. Dass aber bei der 2. Meth. ebenfalls ein ge-
naueres Besultat entsteht, wenn man alle Loga-
rithmen unmittelbar als log. x vereinigt, wodurch
F = '49 wird, während F nach log, e — log, n
auf '15 steigt, sieht man leicht, indem dort
4x— 'A genau = — 1 ist, hier dagegen zweimal
eine Einheit für % genommen wird.
12 Wenn man statt der Subtraction der Loga-
rithmen die Addition ihrer Complemente anwenden
wollte, so müsste man bei der 2. Meth. auch das
Zeichen des Zusatzes in das ei^egengesetzte yer-
wandeln. Es ist nämlich — log. a = (10 — log, a)
— 10 und (10 — log. a) das Complement des
Logarithmus (CompUmentum logartthmi). Das
Resultat der Bechnung und die Werthe von J^
bleiben dabei yöllig unyerändert, die Rechnung
lellMi aber erhält folgende Form:
13 Für Rechnungen mit sechsstelligen Loga-
rithmen haben besondere Tafeln nur den Yor-
theil eines geringeren ümfanges. Dieser Yortheil
wird jedoch beim Entnehmen der sechsstelligen
1. Meth.
2. Meth.
8. Meth.
log.a
8,0887176
♦•76-
♦•76-
log. b
9,4685246»
♦•46-«
♦•46-«
"log. e
4,7291774
♦•73
♦•73.3
ep.log.a
2,9177893
♦•93-
♦•93-
€p,log.ß
8,8847880
♦•80
♦•80.3
^.log.y
7,0220936f»
♦•86-n
♦•36-«
log. X
1,1060905
♦•03
♦•03.6
Logarithmen au9 siebenstelligen Tafeln in fielen
Fällen durch die geringere Mühe des Literpoli-
rens und durch grössere Schärfe überwogen.
Für das Aufschlagen und Interpoliren 44
der sechsstelligen Logarithmen zu gege-
ben ^n Zahlen ist als Abweichung von dem Ver-
fahren bei siebenstelligen nur Folgendes zu be-
achten :
1. Beim Entnehmen eines Logarithmus ohne
Interpolation fallen die siebente oder die sie-
bente und achte Mantisse aus, wenn sie in der
ersten und zweiten oder in der dritten Abtheilung
5 oder 50 oder kleiner sind; sind sie aber 5 oder
50 oder gf^össer, so wird die sechste um 1 yer-
grössert; z. B. (S. 2) log. 43 = 1,633468; (S. 33)
log. 23941=4,379142; (S. 88) lo^r. 51197 = 4,709245;
log. 51208 = 4,709338; (S. 197) log. 105561 =
5,023503; log. 105551 = 5,023462; log. 105641 =
5,023833; log, 105642 = 5,023837.
2. Für die Interpolation trifft man die
Wahl der Differenz, je nachdem man in der zwei-
ten oder dritten AbÜieilung interpolirt, nach der
Differenz der siebenten bezüglich achten Mantisse,
indem man von den Prpthlen stets eine, bezüg-
lich zwei Stellen mehr abschneidet
1. Beisp. log. 975,316 = x (8. 181). Die Dif-
ferenz 44 giebt far Z = 0,6 den PrptU 1^6
(statt 26,4 der Randtafel), daher 2,989142.7 + 2,6
= 2,989145 = X.
2. Beisp. log. 657,6546 = x (8. 117). Die
Differenz 66 giebt far Z = 0,46 die Prpthle
2.6 + 0,4 = 3,0 zu ♦*94.8 = 2,817998 = x.
3. Beisp. log. 101426,48 = x (S. 188) giebt
für die Differenz 428 und Z = 0,48 die Prpthle
1.7 + 0,3 (statt 171,2 und 342,4 der Randtafel),
daher 2,0 + ♦*49.3 = 5,006151 = x.
B. Aufimchung der Zahl la einem gegebenen IiOgaritlmmB.
45 Diese Aufgabe ist die indirecte von der rorhin
behandelten und wird daher auch mit Rücksicht
auf jene ihre Lösung finden. Die umgekehrte Be-
zeichnung z. B. für log. 2 z= 0,3010300 ist
«Uff», log. 0,3010300 = 2 (numerus logartthmi, die
Zahl zum Logarithmus). Man kann auch setzen:
0,3010300 = log. x und a? = 2.
46 Durch die Mantissen wird die Ziffemfolge der
zugehörigen Zahl und durch die Kennziffer der
Stellenwerth bestimmt. Der Letztere ergiebt sich
aber nach folgenden Regeln:
47 Ist dem Logarithmus keine negative Kennziffer
angehängt, so bekommt die Zahl, nöthigenfalls
durch Anhängnng von Nullen, eine ganze Stelle
mehr, als die Kennziffer Einheiten hat. Z. B.
1,8390537 = log. x \md x = 21,83; 8,3390537
= log. X und x = 2183; 5,3390537 = log. x und
X = 218300.
48 Ist dem Logarithmus die negative Kennziffer
— 10 angehängt, so werden so viele Nullen vor die
Ziffemfolge gesetzt, als der positiven Kennziffer
Einheiten an 10 fehlen. Die erste Null bildet die
Stelle der Einer* Je nachdem die Bezeichnung
nach §. 5 oder nach §. 6 geschieht, wird die An-
zahl der vorzusetzenden Nullen durch die ange-
fugte oder durch die vorgesetzte negative Kennziffer
bestimmt.
Die den Mantissen entsprechende Ziffemfolge 49
wird aus der zweiten oder dritten Abtheilung
entnommen, indem die Logarithmen der ersten
Abtheilung auch in der zweiten enthalten sind.
Wenn der gegebene Logarithmus nicht
kleiner als |0334238 ist, mithin die zugehörige
Ziffemfolge mit nicht weniger als 108 beginnt,
so findet man in der zweiten Abtheilung die drei
ersten Mantissen in der Spalte 0 und die vier
übrigen Mantissen in den zagehörigen Zeilen. Da-
bei sucht man auf dem kürzesten Wege erst in
der Spalte 0 die Zeile, welche die vier ersten Zif-
fern der Zahl in der Spalte Num. giebt, und dann
in dieser Zeile die Spalte auf, durch welche die
fünfte Ziffer bestimmt wird, wobei man nach
§. 12 die Bedeutung des Sternchens (♦) zu berück-
sichtigen hat Z. B. (S. 29) 1,3390537 = 20^. x und
X = 21,83; 8,3392526—10 = log. a? und « = 0,02184;
(S. 129) 6^8550101 s log. » und « = 7161600;
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§. 49 - 55J
Tafel L B. Zahl zum Logarithmus gesucht
8
4,8560707 = 70^.0; und « = 71626; (S. 63) 0,5307502
= log, X und x = 3,3948.
50 Wenn der gegebene Logarithmiis kleiner
als ,0334238 ist, mithin die zugehörige Ziffemfolge
mit weniger als 108 beginnt, so verfahrt man in
gleicherweise in der dritten Abtheilung, nur dass
man in dieser die vier ersten Mantissen unter den
in der Spalte 0 vorangestellten findet, dagegen beim
Aufsuchen der drei übrigen die achte Mantisse
der Tafel mit der gewöhnlichen Berücksichtigung
ihrer Grosse ausschliesst und dass aus der Spalte
Num, die f ü n f ersten Ziffern und aus der Zeile Nunu
die sechste Ziffer der gesuchten Ziffemfolge ent-
nommen werden; z. B. ^
(S. 191) 3,0120354 = log. a? und a; = 1028,10;
(S. 186) 2,0017770 = log, a? und a? = 100,410;
(S. 194) 8,0184050 — 10 = l0(7.a? und a? = 0,0104329;
(S. 201) 7,0820342 = log. a? und a; = 10765500;
(S. 200) 5,0308991 = log. a? und a? = 107374.
61 Findet sich der gegebene Logarithmus in der
Tafel nicht genau vor, wie z. B. 5,9891458 (S. 181.),
80 sucht man den nächst kleineren ,9891427
und die Differenz D = 44, betrachtet behuf der
Interpolation die zu jenem gehörige Zahl 97531
als Ganze und berechnet durch SubtracÜon jenes
nächst kleineren Logarithmus vom gegebenen den
Überschuss 26, dessen Behandlung nach der
ersten Methode (§. 17) ohne Rücksicht auf den
Zusatz + % des Logarithmus der Tafel in Fol-
gendem besteht Aus dem in §. 14 angegebenen
Grunde hat man dieser ganzen Zahl noch Decimal-
• stellen im Werthe von ••/44 zuzufügen. Diese er-
geben sich aus den unter der Differenz 44 auf-
geführten Prpthlen, wo die 6 vor 26,4 als. erste
DecimalsteUe sich ankündigt» so dass 97531,6 oder
wegen der Kennziffer 5 975316 als gesuchte Zahl
hervorgeht.
1. Beisp. (S.143). 3,8959935 = Zo^. x. Für den
Überschuss 22 findet sich unter J> = 55 neben 4
der Prpthl 22,0; daher ist a? = 7870,34.
2. Beisp. (S. 100). 0,7574203 = log. x. Dem
Überschüsse 15 liegt unter D == 76 der Prpthl
15,2 neben 2 am nächsten; daher ist a; = 5,72032.
62 Will man zwei Decimalstellen für '%« aus den
Prpthlen ableiten und demnach zwei Ziffern
interpoliren, so muss der nächst kleinere
Prpthl 22,0 für 5 entnommen und vom Überschüsse
subtrahirt werden, wodurch der Vor rat h 4,0 ent-
steht. Die Hundertstel der Differenz 44 hat man aber
vor Augen, wenn man sich das Komma der Prp-
thle um eine Stelle gegen die Linke gerückt
denkt Dadurch liefert der dem Yorrath 4,0 zu-
nächst liegende Prpthl 3,96 neben 9 in dieser
9 die gebuchte zweite DecimalsteUe und als ge-
suchte Zahl X = 975315,9.
53 Dasselbe Resultat kann man erhalten, wenn
man da^ Zehnfache des Yorraths oder 40 mit den
in Bezug auf ihr Komma unveränderten Prpthlen
vergleicht Bei der Fortsetzung dieses Verfahrens
für die folgenden Decimalstellen muss man nur
bemerken, dass dieselbe, obgleich zu dem vorlie-
genden Zwecke ganz unbedenklich, wegen der
fortwährenden Yerzehnfachung des Yorrathea mit
grösseren Zahlen operirt^ als unbedingt nöthig ist^
dass auch die letzten Stellen dieser vergrösserten
Zahlen nicht als genau anzusehen sind«
1. Beisp. (S. 61). 7,6785504 — 10 = l<^. x.l
Der Überschuss 29 — 23,0 (für 2 unter D = 116)
giebt den Yorrath 6,0, welcher dem Prpthl 5,8
(57,5 für 5) entspricht, so dass x = 0,003789225
wird.
2. Beisp. (S. 26). 4,3046098 = log. x. Der
Überschuss 116 — 108,0 (für 5 unter J> = 216)
giebt den 1. Yorrath 8,0. Hiervon 6,5 (64,8 für 8)
lässt den 2. Yorrath 1,5, welchem 151,2 fär 7 gleich
und daher x = 20165,537 ist.
3. Beisp. (S. 15). 5,1674519 = log. x. Der
Überschuss 164 -* 147,5 (iur 5 unter J> = 295)
giebt den 1. Yorrath 16,5. Hiervon 14,8 (147,5
für 5) lässt den 2. Yorrath 1,7, welcher dem
Prpthl 177,0 für 6 am nächsten kommt und daher
X = 147045,56 ist
Gehört der gegebene, aus einer Bechnung mit S
siebenstelligen Logarithmen erhaltene Logarith-
mus zur dritten Abtheilung, welche acht Man-
tissen enthält, so muss man jenem als achte Man-
tisse 0 hinzufügen. Diese Null ist aber nur der
mittlere Werth der unbekannten achten Mantisse,
nur wahrscheinlicher als jede andere Ziffer und
entspricht der ersten DecimalsteUe bei der Inter-
polation in der zweiten Abtheilung nur rücksicht-
lich des Stellenwerthes bei geringerer Genauigkeit.
Man wird daher auch bei den Prpthlen die Zehn-
tel als völlig fingirte Zahlen vernachlässigen kön-
nen und im Übrigen wie bisher verfahren.
1. Beisp. (S. 191): 3,0126079 = log. x. Der
nächst kleinere Logarithmus ist ,01260526 =
log, 102945 mit D = 422 und dem Überschusse *«790
— ♦'^526 = 264. Hiervon den Prpthl 253 (263,2
für 6) subtrahirt, bleibt der Yorrath 11, welcher
dem Prpthl 13 (126,6 für 3) zunächst liegt, so dass
X = 1029,4563 wird. Eine weitere Interpolation
mit einem 2. Yorrathe würde für diesen nur we-
nige Einheiten in der achten Mantisse geben und
auch ganz unsicher sein.
2. Beisp. (S. 191). 5,0115473 = log. x. Der
Überschuss ♦«730 — *«507 = 223 giebt unter
2> = 423 für 6 den Prpthl 211,5, daher 223— 212
= 11 als Yorrath, der dem Prpthl 126,9 für
3 oder der 13 am nächsten Hegt und a;= 102694,58
giebt. Wollte man vom Yorrath 11 nur 8 (statt
84,6 für 2) abziehen und zu dem 2. Yorrath 11—8
= 3 noch die Ziffer 7 (wegen 296,1 für 7) inter-
poliren, so würde x = 102694^527 und die Diffe-
renz 0,003 von dem vorigen Werthe von x nur
fingirt sein.
3. Beisp. (S. 196). 7,0218818 = log. x. Yom
Überschusse * *8180 — * *7949 = 231 subtrahirt 206
(für 5 unter D = 412) lässt den Yorrath 25, der i
dem Prpthl 25 (247,2 für 6) entspricht und
X = 10516756 giebt
4. Beisp. (S.201). 6,0323959 =^log.x. Aus dem
Überschusse ♦690 — »«309 = 281 folgt nur 7 mit
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9
Tafel L B. Zahl zum Logarithmus gesucht
[§. 65 - 61.
dem PrptU 288 (282,8 unter D =3 404) und als
zweite Ziffer 0 oder x = 107744,70.
56 Will man nach der 2. Methode (§. 19 ff. und
§. 25) den Zusatz der Logarithmen der Tafel be-
rücksichtigen, so wird für den 2. Fall nie ein
begründeter Einfloss anf die gesuchte Zahl vor-
handen sein, besonders wegen der geringeren
Schärfe der siebenten Mantisse eines gegebenen
liOgaiithmns (vergl. §. 55) in Verbindung mit den
§. 21 ff. angestellten Betrachtungen.
Aus dem enteren Grunde seigt sich selbst für
den 1. Fall nur zuweilen ein reeUer Erfolg und
man könnte den Zusatz wohl ganz unbeachtet
lassen, wenn die Bechnung mit demselben nicht
aehr einfiK^ wäre.
Man wird nämlich, wenn beide anlie-
gende Logarithmen unterstrichen sind
oder nichty den Überschuss um den Zu-
satz 0,3 bezüglich vermehren oder ver-
mindern.
, Z. B. (S. 7). 4,0876888 = log. x. Hier sind die
anliegenden Logarithmen unterstrichen und es muss
der tyberschuss 181 auf 181,8 vergrössert werden.
IEb entsteht 181,8 — 119,4 (für 8) = 11,9 als Yorrath,
welcher dem Prpthl 11,9 (119,4 für 8) vöUig gleich
ist» so dass für die dritte interpolirte Ziffer eine Null
gesetzt werden kann, wodurch «=10905,880 wird.
67 Wollte man auch im 2. Falle, wo nur einer
der anliegenden Logarithmen unterstrichen ist,
den Überschuss ebenso wegen des Zusatzes des
nächst kleineren Logarithmus corrigiren, so würde
man weniger genau verfahren. Wenn nämlich
letzterer unterstrichen ist oder nicht, so wird
die Differenz D nach §.22 um % bezüglich zu
klein oder zu grossL Dem' entsprechend ist aber
der Überschuss ohne Gorrection um y« bezüg-
lich SU klein oder zu gross, weshalb man diese
Correction nicht anbringen darf.
BS Die folgenden Beispiele für den ersten Fall sind
nur aus der zweiten Abtheilung entnommen, weil
die achte Mantisse der dritten Abtheilung die An-
j wraidung der 2. Methode entbehrlich macht.
I 1. Beiap. (S. 186). 2,8767408 =iZo^. x. Da die
anliegenden Logarithmen unterstrichen sind, so
vermehrt man den Überschuss 85 um 0,8 auf 85,8.
Hiervon 84,8 (fElr 6 bei D =f 58) bleibt der Yor-
rath 0,5, welcher noch 1 (5,8 für 1) giebt, wodurch
X = 752,9061 wird. Kach der 1. Methode würde
man den Yorrath 0,2 erhalten und dafür die Ziffer
0 annehmen müssen.
2. Beisp. (8. 169). 4,9626845 = Zo^. «. Bei den
I nicht unterstrichenen anlie^nden Logarithmen
wird der Überschuss 21 um 0,3 auf 20,7 vermin-
dert Hiervon 18,8 (für 4 bei 2> := 47) bleibt der
Yorrath 1,9, welcher genau 4 und x = 91745,44
giebt, während nach der 1. Meth. der Yorrath 2,2
wäre und die Ziffer 5 (wegen 28,5) geben würde.
Gehört ein gegebener Logarithmus nach der
3. Methode, demnach mitZehnfteln der siebenten
Mantisse, zur zweiten Abtheilung, so muss
man, wenn beide anliegenden Logarithmen unter-
atrichen sind oder nicht, den Überschuss um den
Zusatz 0,3 bezüglich vermehren oder vermindern,
wie §. 56, und zwar hier mit einem reellen Erfolge,
weil der gegebene Logarithmus durch die Zehntel
der siebenten Mantisse eine dem Zusätze ent-
sprechende Genauigkeit besitzt.
1. Beisp. (S. 10, §.28). 8,0915149.4— 10 = Zo^. x.
Die beiden anliegenden Logarithmen sind un-
terstrichen und daher der Überschuss -f- 0,3
= 288,7. Hiervon 211,2 (für 6 bei D = 852) lässt
27,5. Hiervon 24,6 (246,4 für 7) lässt 2,9, welche«
noch 8 (281,6 für 8) und daher x = 0,012845678
giebt, wie §. 28. Dagegen giebt der dortige Loga-
rithmus nach der 2. Meth. **49, auch nach §. 56
mit dem Zusatz behandelt, zur letzten Ziffer 7
statt 8 und der dortige nach der 1. Meth. **50
nach §. 52 ohne Beachtung des Zusatzes zur letz-
ten Ziffer 9 statt 8.
2. Beisp. (S. 117, §. 27). 2,8179978.6 z=zlog.x.
Die beiden anliegenden Logarithmen sind nicht
unterstrichen, daher der Überschuss — 0,3 = 80,8.
Hiervon 26,4 (für 4 bei D = 66) lässt 8,9, wozu
8,96 für 6 giebt x = 657,6546 wie §. 27. Nach der
2. Meth. war dort log, x =: **79y womach der
Überschuss «W — »W =s 80,7 und « = »W
entsteht Nach der 1. Meth. war dort log.xz:z*V%
was den Überschuss *«78— **48 = 80 und d$=:**45
giebt.
Bei einem zur dritten Abtheilung mit acht 00
Mantissen gehörigen gegebenen Logarithmus nach
der 8. Methode wird man die Zehntel sei-
ner siebenten Mantisse als die acdte betrachten
und die Interpolation ebenso ausfuhren < wie bei
siebenstelligen Logarithmen in der zweiten Ab-
theilung (§. 51 ff.), nur dass man den Zusatz
+ y« sowie die Zehntel der Prpthle nicht be-
achtet, weil obige Zehntel als achte Mantisse keine
dem Zusätze und den Zehnteln der Prpthle ent-
sprechende Genauigkeit haben können.
Z. B. (3. 188): 5,0061518JS Ts^log.m^
Yen dem Überschüsse *%185 — *»4980 = 205 bei
D = 428 subtrahirt 171 (171,2 für 4) bleibt 84,
welches wegen 842,4 noch 8 oder x = 101426^48
giebi
Für die Anwendung der Interpolationstafel 61
(Tafel m.) statt der Pipthle der Bandtafel (vergL
§. 80) gilt auch bei der Interpolation der Ziffern
einer gesuchten Zahl das §. 81 Bemerkte und zwar :
1. Ist D = 40 bis 409 y so giebt schon die
Haupttafel (Art 18 bis 21) durch Z unmittelbar zwei
und mittelbar die dritte interpolirte Ziffer, wobei
der Überschuss als gegebener Prpthl P für Ta-
fel in. betrachtet wird.
Beisp. (§. 54, 2. Beisp.). Für D =s 216 und
P = 116 ist (8. 87 mit 114,48) zunächst Z=s 0^53
und wogen 116—114,5 == 1,5 ist (S. 86 mit 15,12
für Z==0,07) femer Z= 0,007, daher das gesuchte
Z s 0,587 wie dort
2. Ist aber D=:411 bit 485 wieS. 186bisl97,so
wird nach Art 28 und 24 auch die Hülfttafel an-
gewendet
Beisp. (§. 55, 2. Beisp.). Für D' s 423
10X42 -(-3 und Pi
223 liegt diesem (S. 3)
2
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§. 61 — 66.]
Tafel L B. Zahl zum Logarithmus gesucht
10
unter D =: 42 am nächsten P= 22,26 und in der-
selben Zeile nnter 3 der Hülfstafel 1,6. Daher ist
10 P = 223 — 1,6 = 221,4, dem unter 10 D
;= 10 X 42 am nächsten 10x22,26 = 222,6 liegt,
wozu Z = 0,53 gehört) wie §. 65.
3. Die Bestimmung von drei Ziffern durch
Interpolation aus diesem Bereich der dritten Ab- *
theilung S. 186 bis 197, um neun Ziffern der Zahl
zu erhalten, kann nur bei Kechnungen nach der
8. Methode yorkommen, deren Logarithmen hier-
' bei (§. 60) wie achtstellige behandelt werden, weil
siebenstellige, auch mit den kleinsten Anfangsman-
tissen, keinen Einfluss auf die neunte Ziffer der
Zahl haben (§.55, 1. Beisp.). Es kann daher auch
nur in jenem Falle vorkommen, noch eine dritte
Decimalstelle von Z durch ein zweites Eingehen
in die Haupttafel bestimmen zu müssen; z. B.
6,0068897.5 = log, x (S. 189). Bei D = 427
= 10x48 — 8 und P == •W5 — ♦•814 = 161 ist
(S. 2) p = + 1,1, daher 10 P = 162,1. ffiervon
159,1 förZ = 0,37 bleibt 8,0, dem Z c= 0,007 ent-
spricht. Es ist dAher das gesuchte Z = 0,377, wie
auch die Interpolation nach der Randtafel S. 189
©rgiebt, und x = 101587,877.
62 Für Rechnungen mit sechsstelligen Loga-
rithmen gelten bei der Anwendung dieser Tafel
dieselben §. 43 erwähnten Yortheile, auch wenn
die Zahl gesucht wird.
63 Tafel zur Verwandlung der gemeinen
Logarithmen in natürliche und der na-
türlichen in gemeine. S. 202.
Den Überschriften gemäss (yergl. §. 39) hat
man, wenn ein gemeiner Logarithmus, z. B.
log. wOg. 30705 = 4,4872091 in einen natürliclieii
Logarithmus verwandelt werden soU, -irjr mit dem
gegebenen gemeinen Logarithmus zu multipliciren.
Mit Hülfe des 1- bis 99fachen von — in der Tafel
wird man sowohl die Multiplication, als überhaupt
die Hälfte aller Partialproducte ersparen, indem
man den Logarithmus in zweiziffrige Theile zer-
legt, die entsprechenden Vielfachen von -g aus
der Tafel entnimmt und ihrem Stellenwerth ge-
mäss behuf der Addition unter einander schreibt.
Setzt man daher
4^4872091 = 0,1 X 44 -{- 0,001 X 87
4- 0,00001 X 20 + 0,0000001 X 91,
80 entsteht die weiter unten folgende Berechnung.
In gleicher Weise verfährt man mit den Viel-
fachen von JHf, wenn ein gegebener natürlicher
Logarithmus, z. B. log. nat 30705 in einen gce-
meinen verwandelt werden soll, wie in der zwei*'
ten hier folgenden Berechnung geschehen ist.
10,13137.4409 4,34294.4819
20032.4903 14331.7179
46.0517 91.2018
2X)954 8.4744
347
10,38218.08
= log. nat. 30705
4,48720.91
=: log. vtUg. 30705.
Tafel n. Logarithmen der trigonometrischen Functionen.
S- 204 bis 473-
Auflmchting des Logarithmaa einer trigonometriBchen Function su einem gegebenen
WinkeL
64 Xftfel n. enthält die Logarithmen der Sinns,
der Tangenten, der Cotangenten und der Gosinns,
nnd zwar nor für spitze Winkel. Für Winkel
über 90 Grad wird man 1 oder 2 oder 8 rechte
Winkel abziehen und zu dem übrig bleibenden
spitzen Winkel dieselbe Function suchen, wenn
man 2 rechte, die Gofiinction dagegen, wenn man
1 oder 3 rechte Winkel abgezogen hat Die
Functionen aber sind negativ und es muss dem
Logarithmus ein n (§. 40) angefugt werden, wenn
' der Sinus im 3. u. 4., die Tangente und Ootan-
gente im 2. und 4. und der Gpsinus im 2. nnd
3. Quadranten liegt.
65 Jede Seite besteht aus der Haupttafel für die
Logarithmen und aus der Bctndtafel für die
Prpthle. In jener schreiten die Eingange von
10 zu 10 Secunden fort und zwar die linken
Eingange, oben mit M. S. und unten mit ' '' be-
zeichnet^ von oben nach unten für die im Kopfe
der Tafel bemerkten Functionen von 0 bis 45 Grad,
und die rechten Eingänge, unten mit S. M. und
oben mit *' * bezeichnet^ yon unten nach oben für
die im Fusse der Tafel bemerkten Functionen ron
45 bis 90 Grad.
Für 3 bis 45 Grad sind den vier die Logarith-
men enthaltenden Spalten die Differenzen in den
drei Differenzenspalten beigefügt, und zwar
für die erste jener vier Logarithmen spalten
in der ersten mit IHff. bezeichneten Spalte, für
die zweite und dritte Logarithmenspalte in der
zweiten mit B.'c. {Differeniia eomimmis) bezeich-
neten Spalte und für die vierte Logarithmenspalte
in der dritten mit D oder Diff. bezeichneten
Spalte. Die Differenzen stehen zwischen den Lo*
garithmen, deren unterschied ftie angeben. Dem-
gemass findet man:
(S. 349) log. 8in. 24» 12' 40" = 9,6128897;
(S. 383) log. tg. 29*57' 10" = 9,7606m;
(S. 424) log. ctg. 86» 44' 0" = 0,12709^;
(S. 460) log. €08. 42* 43' 50" =; 9,8660230;
(S. 442) log. ein. 60* 15' 10" = 9,8858545;
(S. 363) log. tg. 63*21'30" = 0,2995796;
(S. 333) log. etg. 68« 26' 40" = 9,5966812;
(S. 219) log. COM. 87* 23' 10" s 8,6590188. ,
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r
11
Tafel n. A. Logarithmus einer Function gesucht [§. 66 — 73.
66 Alle Funoiionen beziehen tich auf den Halb«
messer 1, sind daher, ausser den Gotangenten von
0 bis 45 Grad und den Tangenten von 45 bis 90
Grad, kleiner als 1 und ist ihren Logarithmen diß
negative Kennziffer — 10 hinzuzudenken. — Will
man die Functionen für einen andern Halbmesser
r bestimmen, so muss man zu den obigen Loga-
rithmen noch log, r addiren. — Die Werihe der
Functionen selbst . erhält man, wenn man zu den
Logarithmen die Zahlen in der Tafel L sucht.
67 Enthält ein Winkel ausser den Zehnem der Se-
oonden noch Einer und wohl auch noch Decimal-
atellen derselben, so muss der Logarithmus der
Function durch Interpolation berechnet werden.
Diese würde aber für die Sinus, Tangenten und
Cotangenten sehr kleiner, und für die Cosinus,
Cotangenten und Tangenten sehr grosser Winkel
wegen der grossen Differenzen und wegen der
I nötiiigen Berücksichtigung der zweiten Differenzen
sehr beschwerlich werden. Es sind deshalb die
Differenzen für 0 bis 3 Grad (und für 87 bis 90 Grad)
auf S. 204 bis 221 als entbehrlich ausgelassen und
ist der Baum zur Yergrösserung der Randtafel
Torwendet worden. — Für die diesen Winkeln
angehörigen Functionen kommen Tafel L und
die trigonometrischen Hülfszahlen S
und r in Anwendung (s. S. 1, Titel und Über-
sicht).
68 Bezeichnet nämlich
a*' den in Secunden ausgedrückten Winkel a, wel-
cher hier zwischen 0 und 8 Grad fällt, so dass
(90 — a) zwischen 87 und 90 Grad Hegt, und
setzt man
8 = log '- — = log. sin. a — log. o" und
T = log. ^;^^ = log. tg. a — log. a", so ist
1. log. 8in. a = iS^ -f- log. a"
2. log. tg. a = I* + log, a"
3. log. ctg. a =:^log. tg. a
4. log. eos. (90 — a) = log. sin. a
5. log. ctg. (90 — a) = log. tg. a
6. log. tg. (90 — a) = — log. tg a
wodurch die vier letzten Fälle auf die zwei ersten,
log. 9%n. a und log. tg. a zurückgeführt sind.
69 Nun findet man den Logarithmus von a" in
der ersten Abtheilung auf S. 2 bis 5
1. bis 1" für jedes Tausendstel,
3. bis 10" für jedes Hundertstel und
& bis 1' 40" für jedes Zehntel der Secxlnde. Für
diesen 3. Fall giebt überdies die erste Spalte
eines jeden der fünf Abschnitte (§. 9), welche
im Kopfe und Fusse mit " oder ' " bezeichnet
ist, den Ort der gesuchten Mantissen an.
4. Enthalten die Winkel im 2. Falle noch eine
dritte oder im 8. Falle noch eine zweite oder
dritte und überhaupt noch vierte und höhere
Decimalstellen, sodass selbst bei vorangehenden
Nullen die Ziffemfolge vier oder mehr als vier
Ziffern enthält; so müssen die Logarithmen aus
der zweiten oder dritten Abtheilung nöthigen-
üblIIs durch Literpolation entnommen werden.
Die Kennziffer wird der S^cundenzahl entspre-
chend bestimmt.
1. Beisp. (S. 141) log. 7,"7684 = 0,8897722
2. „ (8. 86) log. 49,"987 = 1,69885^
In der zweiten Abtheilung (8. 6 bis 185) 70
findet man log. a" ohne Interpolation
1. von 1'40" bis 16' 40" für jedes Hundertstel und
2. von 16' 40" bis 2*46'40" für jedes Zehntel der
Secunden;
inderdrittenAbtheilung(S.186b.201)endlich
8. von 2*46' 40" bis 3» for jedes Zehntel der Se-
cunden.
Um nun nicht den Winkel in Secunden ver-
wandeln zu müssen, deutet die linke Randtafel
für den I.Fall in der ersten Spalte, far den 2. Fall
in der zweiten Spalte und für den 3. Fall in der
einzigen Spalte den Ort der gesuchten Mantis-
sen an.
Wenn femer im 1. Falle ausser der zweiten,
und im 2. und 8. Falle ausser der ersten Decimal-
stelle der Secunden noch mehrere gegeben sind,
so muss man für dieselben interpoUren.
Endlich bezeichnet das unterhalb dieser Spalten
angesetzte Ä;.2, Jb. 3 und ifc. 4 die jedesmalige
Kennziffer. Z. B. (unter Beisetzung der zehnstel-
ligen Werthe):
1. log. 0n6'26,"78 = 2,9937680; ♦•79.742;
2. log. 0n6'26,"734 = 2,9937598 nach der l.MeÜi.;
2. Meth. ♦'7; 3. Meth. *'7^;
♦'7.365;
3. log. 2« 44' 17" = 3,9937448; ♦''7.566;
4. log. 2«44' 17," 64 = 3,9937686 nach der 1. Meth.;
2. Meth. ^'5; 3. Meth. ♦'6.3;
♦'5.480;
5. log. 2»57'52,"173 = 4,0282528.6; ♦'8.567.
Die Werthe von S und T, welche sämmt- 71
lieh mit 4,685 beginnen, werden stets mit acht
Decimalstellen aus der Fusstafel entnommen,
worin sie
S. 2 und 4 bis 1' 40" von 5 zu 5 Secunden, sonst
aber von 10 zu 10 Secunden, und zwar
8. 6 bis 186 von 1'40" bis 16' 40" auf den linken
Seiten oberhalb der Doppellinie, und
S. 6 bis 201 von 0<^16'40" bis S^ stehen.
Die unter J> beigesetzten Differenzen, welche 72
für 8 und T nur bezüglich bis 37 und 74 aufstei-
gen, erleichtem die Interpolation, wobei zu beach-
ten ist, dass den unter D befindlichen Zeichen —
und 4* entsprechend mit zunehmendem Winkel die
8 ab-, die T aber zunehmen. Da nun die Winkel
von 10 zu 10 Secunden fortschreiten, so wird man
die Einer der Secunden des gegebenen Winkels
als erste uhd die Zehntel als zweite Decimalstelle
eines echten Bruches betrachten, mit welchem die
Differenz multiplicirt werden muss. Bei der Be-
rechnung dieses Products werden jedoch die Zehn-
tel desselben nur so weit berücksichtigt, als sie
Einfluss auf die Ganzen haben, weil diese nur Ein-
heiten der achten Decimalstelle von 8 und T bil-
den und mit dieser vereinigt werden.
Demgemäss werden zu den Winkeln des 1. und 73
2. Beispiels (g. 70) dieselben Werthe von
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§.73.74.].
Tafel IL A. Logarithmus einer Function gesucht
13
8 = 4,S865732.1 and T = 4,0666781.7
gehören (zehnstellig S = *^2.187 im 1. n. 2., aber
T = ♦'1.730 im 1. u. ♦'1.731 im 2. Beisp.), weil es
genügt y die einzifi&igen Differenzen — 8 und -|- 7
mit einer Ziffer -}- 0,6 (statt mit + 0,67) zn mal-
tipliciren, wodarch die Prodacte — 2 and 4-^ (statt
' — 1,8 and 4~ ^2) entstehen.
Im 3. and 4. Beispiele ist beim Rückwärts-
interpoliren jede Differenz — 34 and + 67 mit
— 0,3 and mit — 0,246 za maltipUciren. Ohne
hier Zerfällangen, Ejreozmaltiplicationen and an-
dere Yortheile anzawenden, wird man analog wie
§. 29 vom Kleinen zam Grossen rechnen, nämlich:
67 X 0,006 = 0,4 za 67 X 0,04 giebt 3,1, and za
67 X 0,2 giebt 16,5 oder 16. Zerfallt man freilich
0,246 in % — 0,004, so giebt 67X— 0,004==— 0,3
and 67x74 sofort obige 16. Man erhält demnach
nebst den zehnstelligen Werthen:
im 3. Beisp. S = 4,6864096.6 o. ^76.644;
T = 4,6869066.4 n. ^^6.427;
„4. „ iSf = 4,6864096.3 a.« ♦'6.863;
T = 4,6859056.8 n. ♦'6.789;
„6. „ S = 4,6863810.8 a. ♦'0.787;
T = 4,6869626.6 o. ♦'6.608.
74 Bei der Berechnang des Logarithmus des
Sinns oder der Tangente dnrch Addition von
8 oder T za log. a" ist noch Folgendes za be-
merken :
1. Die Fasstafel enthält obige Logarithmen
{Log. 8in. and Log. Tang.) far üie Winkel der
ersten Spalte, aasser aaf S. 2 bis 6, wo sie bis 1'40''
fär jede Secande eingetragen sind. Man kann
daraas stets die Kennziffer entnehmen and
eine bis zwei Mantissen bei Winkeln bis 1' 40" auf
S. 2 bis 6 and bis 16' 40" aaf S. 6 bis 185,
zwei bis drei Mantissen bei Winkeln bis etwa O'dO*
aaf S. 6 bis 21, and
drei bis vier Mantissen bei Winkeln von etwa 0* 30*
bis 3« aaf S. 22 bis 201,
bo dasB meistens nor die drei oder vier letzten
Mantissen za bestimmen übrig bleiben.
2. Es wird hänfig die siebente Mantisse des
gesachten Logarithmas genaner erhalten, wenn
man die achte Decimalstelle von 8 oder T nicht
vor jener Addition abschneidet, sondern sie in fol-
genden Fällen mit dem log. a" vereinigt.
a. Bei der 1. Methode darch Yereinigang mit
dem Prpthl, wenn fSr log. a" interpolirt werden
moBste. So würde (§. 70) im 2. Beispiele Ts
♦•81,7 = ♦•82 gesetzt za log. a" = ^«98 di.e Samme
♦•80 geben. Nan war aber ♦•gS = ♦•80 + 17,6.
Wird daher mit diesem Prpthl 17,6 jene achte
Decimalstelle 7 vereinigt und 17,6 -|- 0,7 = 18,8
= 18 za ♦•80 and diese Samme ♦•98 za ♦•Sl ad-
dirt, so erhält man ♦•79 statt der vorigen ♦•dOond
daher:
log. ig. 16' 26," 734 = 7,6798879 and zehnsielH^
♦'9.096. Für den Sinns entsteht aaf jede Art
log. 8in. 16'26,"7S4 =s 7,6793330 and Eefanftelligr
♦•29,502, sowieim 4. Beispiele für
log. ain. 2* 44' 17," 64 = 8,6791781 and zehnstelliff
♦'0.844. Aber die Tangente wird *
log. ig. 2« 44' 17," 64 =r 8,6796742 and zehnBt«Iüsr
♦'2.270, während weniger genau ♦•67 + ♦^ = ♦•43
sein würde. — Wird log. a'* aus. der dritten Ab*
theilung entnommen, mithin mit acht Mantissen
(s. 6> Beisp;), so fallt diese Rücksicht weg, weil dann
die 8. Mantisse mit der 8. Decimalstelle von 8 oder
T vereinigt wird.
Die gesuchten Logarithmen der übrigen Bei-
spielesind folgende mit ihren zehnstellig^ Werthen:
L Beisp.
log. sin. 0« 16' 26," 73 = 7,6793312 n. ♦'1.879;
log.tg. 0« 16' 26," 73 = 7,6793362 u. ♦'1.472;
3. Beisp.
log. sin. 2» 44' 17" = 8,6791544 u. ♦'3.110;
log. tg. 2*44' 17" = 8,6796504 u. ^'3.992;
6. Beisp.
log. sin. 2* 67' 52," 173= 8,7136339 a. ♦'9.364;
log. tg. 2* 67' 62," 173= 8,7142156 u. ♦'6.076.
b. Ist bei der 2. Methode log. a" ohnelnter*
polation aas der Tafel entnommen worden, so wird
sein Zusatz ± 0,3 mit der 8. Decimalstelle von 3
oder T vereinigt, wie es (§. 20) mit der ersten
Decimalstelle des vollständigen Prpthls geschalu
Ist dagegen log. a" durch Interpolation zu bestim-
men, so wird diese nach der 2. Methode ausge-
führt and der so erhaltene vollständige Prpthl
mit jener 8. Decimalstelle als Zehntel desselben
vereinigt, wie unter a. gezeigt wurde.
Man erhältauf diese Weisefolgende Logarithmen :
Zunächst dieselben, wie die unter a.mitgetheilten,
im 1. Beisp. für den sin,, im 2. und 3. Beisp. far
die tg., im 4. Beisp. für den sin. und die tg. und
im 6. Beisp. ohnehin dasselbe, weil der Zusatz zn
der 8. Mantisse von log a" nicht berücksichti^gt
wird. Dagegen erhält man folgende genauere
Werthe (nebst den zehnstelligen) im 1. u. 3. Beisp.,
während im 2 Beisp. 3 Einheiten der 10. Mantisse
(♦'9.602) durch siebenstellige Logarithmen nicht
vertreten sein können:
l.Beisp.%.*^. 0«16'26,"73 =7,6793861 u. ♦'1.472;
2. „ Zo^.«».0016'25,"734= 7,6793329 u.^'9Ä)2;
3. „ log. sin. 2*44' 17" = 8,6791648 u. ♦'3.110.
0. Bei der 3. Methode wird nach b. verfahren,
nur dass die Zehntel der siebenten Mantisse von
log. sin. und log. tg. nicht abgeschnitten, sondern
anverändert in die Bechnung eingetragen werden.
In der dritten Abtheilung gilt dasselbe von der
achten Mantisse. Dadurch erhält man far obige
Beispiele (§. 70) folgende Logarithmen, denen die
im §.74, 2. a.and b. berechneten zarVergleichan^^
voranstehen:
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13
Tafel U. A. Logarithmus einer Function gesacH
[§. 74 - 77,
!• Moth.
l.BeiBp. log.^ sin. 0«16'25/'73 = 7,6793312
log.tg. 0*16' 25," 73 =7,6796362
2, - log. sin. 0M6' 26," 734 = 7,6793830
log. tg. 0*16' 25," 734 = 7,6793379
8. „ Zo^. «Vi. 2*44' 17" =8,6791644
log. tg. 2»44' 17" = 8,6796504
4. „ log. sin. 2'»44'17,"64 = 8,6791781
log.tg. 2*44' 17," 54 =8,6796742
5. „ %. «m. 2*67' 62," 173 = 8,7136339
log. tg. 2»Ö7'Ö2," 173 = 8,7142155
8. Bei sehr kleinen Winkeln (§. 69) ist
keine Inteipolation für i^nnd T erforderlich. Auch
sind für denselben Winkel letztere nnd somit auch
log. ein. nnd log. ig. wenig oder gar nicht von
einander Terschieden.
75 Die Logarithmen der Functionen von Win-
keln zwischen 8 bis 87 Grad, welche nicht
reine Zehner von Secnnden enthalten, werden
aus Tafeln. S. 222 bis 478 durch Interpolation
mit Hülfe der Prpthle oder der Interpolations-
tafel (Tafel m.) entnommen. Was nun zunächst die
Prpthle betrifft, so sind dieselben 8.818 bis 478
(19* — 71^ auf jeder Seite für jede in den
drei Differenzenspalten vorhandene Differenz
in die Bandiafel eingetragen nnd zwar oben bis
auf die Doppellinie für die dritte, unten bis zu
der dreifiuihen Linie f&r die erste und dazwischen
ite die zweite Differenzenspalte.
76 Wegen des auf den vorhergehenden Seiten
la denPlrpthlen für die Differenzen der ersten und
zweiten Differenzenspalte fehlenden Raimies ist
Folgendes zu bemerken:
1. S. 222 bis 299 fehlen anfangs vier, dann
aber weniger Differenzen zwischen den mit ihren
Prpthlen in die Bandtafel eingetragenen.
2. Für die auf S. 222 bis 235 noch weiter
fehlenden Differenzen findet man die geraden auf
S. 204 bis 221, wie die Citate unter den Band-
tafeln anzeigen.
8. 8. 222 bis 253 fehlt die dreifache Linie in
den Bandtafeln, weil die hier eingetragenen Diffe-
renzen von der grössten in der zweiten Spalte der
linken Seiten beginnen und in einer Beihe auf
beiden Seiten für die erste und zweite Differenzen-
Spalte fortlaufen, wie die Titel über und die Ci-
tate unter den Bandtafeln näher nachweisen
(8. £ S. — siehe folgende Seite; S. v. S. — siehe
vorige Seite).
4. 8. 254 bis 267 enthalten zwar die dreifache
Linie, um zu möglichst vielen Differenzen die
Prpthle auf derselben Seite vorzufinden, jedoch
werden noch zuweilen durch dieselben Prpthle
beide Differenzenspalten vertreten.
77 Für die Interpolation ist noch Folgendes
m 1>emerken:
1. Da bei zunehmendem Winkel im ersten
Quadranten die Sinus und Tangenten zunehmen,
die Cotangenten und Cosinus aber abnehmen und
somit auch deren Logarithmen, so werden diese
Logarithmen in der ersten und zweiten
Logarithmenspalte von oben nach unten,
2. Meth.
3. Meth.
♦•12
♦«61
♦•11.8
♦•61.4
•629
♦«79
♦«29.4
♦•79.0
♦•43
♦-04
♦•43.2
♦•04.1
♦«^81
♦«42
♦•80.6
♦•42:1
♦•89
♦•55
♦•39.4
♦•55.1
zahnst.
♦•11.879
♦«61.472
♦•29.502
♦•79.096
♦•43.110
♦•03.992
♦•80.844
♦•42.270
♦•39.354
♦•55.075
aber
ri^n
en.
von un-
in der dritten und viert
ten nach oben zunehmet
2. Man sucht nun auch hier beim Vorwärts-
interpoliren far den nächst kleineren Winkel der
Tafel und beim Bückwärtsinterpoliren für den
nächst grösseren den zugehörigen Logarithmus
L auf und vereinigt mit ihm den vollständi-
gen Prpthl P durch Addition oder durch
Subtraction.
8. Die erste Decimalstelle des echten Decimal-
bruchesZ, mit welchem man die beigesetzte Dif-
ferenz D zur Berechnung des Prpthls P multi-
pliciren muss,' bilden die Einer der Secunden^
welchen als folgende Decimalstellen die der Se-
cnnden hinzugefügt werden, um P = ZD zu er-
halten.
4. Finden sich die Prptiile zu der Differenz
2> nicht vor (§.76), so nimmt man die um 1 oder 2
kleinere oder grössere Differenz Dr der Band*
tafel, so dass D = Dr ± 1 oder D, ± 2 wird.
Weil nun ZD=zZDr ±Z oder ZBt±%Z'v^ so
wird man ± Z oder ±2 Z ablesen und sogleich
mit ZDr vereinigen.
5. Auf den ersten Seiten von 8. 222 oder von
8*0' an nehmen die Differenzen der ersten und
zweiten Differenzenspalte so schnell ab, dass deren
Differenzen oder die zweiten Differenzen J
bis 5 steigen und bei scharfen Interpolationen,
besonders nach der 2. und 8. Methode, berücksich-
tigt werden müssen. Dies geschieht nach der Formel
L + {ZB^%Z(l^Zij},
so dass P = ZD noch die Correotion
Q^^y^Z(l^Z)J
erhält.
6. Diese Newton'sche Interpolationsformel
setzt folgendes Schema voraus, dem ein Zahlen-
beispiel von S. 222 für log. sin. beigefügt ist
TT
B
J
L
D
J
c
3818
a
d
f
8*9'80"
8,7411151
3814
4
b
e
9
40"
8,7414968
8811
8
Ist nämlich beim Yorwärtsinterpoliren .der Lo-
garithmus Zr=a, so ist JD = (2 = 6—0 =-{-8814
und J=sg ^ e — d = — 8. Ist aber beimBück-
wärtsinterpoliren Zr = &, so ist D = d = a— b
= — 8814 undi#=/=c — <l = 4-4.
7. Für die Wahl zwischen den beiden zwei-
ten Differenzen / und g gilt daher die Begel:
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§. 77. 78.]
Tafel IL A. Logariibmus einer Functiou gesucht
14
Man nimmt diejenige zweite Differenz, welche
mit dem Logarithmus L nicht in einer Ho-
rizontallinie liegt, oder man nimmt diejenige
zweite DiflFerenz, aufweiche die schiefe Linie
▼on L über D zeigt
8. Die absoluten Wert he von Q giebt fol-
gende Tafel in Einheiten der siebenten Mantisse,
wobei die* unterstrichenen zweiten Decimalstellen
nm eine halbe Einheit derselben zu gross sind und
K. B. 0,05 r= 0,045 gelesen werden kann.
1 g^^z(i-z)j. ll
z
^
Z
1
2
8
4
6
0,0
0,1
0,2
0,8
0,4
0,6
0,00
0,05
0,06
0,11
0,12
0,13
0,00
0,09
0,16
0,21
0,24
0,25
0,00
0,14
0,24
0,38
0,00
0,18
0,32
0,42
0,48
0,50
0,00
0,23
0,40
o;53
0,60
0,63
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,6
Z
1
2
3
4
5
Z
J
9. untersucht man endlich für. das Zeichen
Ton Q die verschiedenen Fälle aussphliesslich der
vierten Logarithmenspalte, die hier nicht in Be-
tracht kommt, so erhalt man folgende Regel:
Der absolute Werth des Prpthls P z=iZD wird
um die Correction Q beim Vorwärtsinterpo-
liren vermehrt, wenn man den linken und ver-
mindert, wenn man den rechten Eingang der
Tafel n., dagegen beim Bück wärt 8 interpoliren
umgekehrt vermindert, wenn man den linken und
vermehrt, wenn man den rechten Eingang der
Tafel n. anwendet; z. B. für log, sin. 3« 9' 84," 76
= X (S. 222) finden sich die Prpthle für D = 3814
auf S. 206, und es ist Z = 0,476, J zs S und
Q == 0,87 = 0,4, demnach:
für die 1. Meth. ohne Q
4
7
6
1525,6
267,0
22,9
P=:
1815,5
+ 0,4
P+« =
Zusatz
1815,9
-0,8
zu
für die 1. Meth. mit Q
-f 1815,6 für die 2. u. 8. Meth. mit Q
8,7411164 addirt
giebt X = 8,7412969.6 nach der 8. Meth. mit Q,
während zehnstellig
X = 8,7412969.627 ist.
Man rechnet demnach folgendermaassen : Q =
-|- 0,4 zum Zusatz — 0,8 giebt -|- 0,1, dies zu
22,9 giebt 23, dies zu 267 giebt 290, dies zu 1525,6
giebt 1815,6 und dies zu ♦ni64 giebt **2969.6.
Zur Yergleichung hat man nach der
^, Anmerkung. Das am Schlüsse dieser Einlei-
timg befindliche Blstt enthält Abdrucke dieser Tafel,
von welchen man nach Belleben einzelne abschneiden
vnd wie eine Knpfertafel zum Heransschlageti an-
bringen, oder von S. 222 ai^ einlegen oder einheften
Uusen kann.
3. Metk
(1815,6) ♦•69.6
(1815,2) ♦•69.2
1. Meth. 2. Meth.
mit Qy (1815,9) ♦•70 (1815,6) ♦"70
ohne e, (1815,5) ^^70 (1815,2) ♦•69 ^
Folgende Beispiele werden §. 76 bis 77 noch 7B
näher erläutern:
1. Beisp. (S. 457). Zo^. «tn. 42» 14' 24," 8 = x.
Unter D = 282 erhält man für Z = 0,48 sofort
18,56 -f- 92,8 = 111,86 zu i = ♦nSÖ giebt x =
9,8275246 (1. Meth.), + 0,26 = 111,6 giebt x =
♦»247 (2. Meth.) und x = ♦'246.6 (3. Metk),
zehnstellig aber ist x = ♦%46 . 682.
2. Beisp. (S. 817). log, ig. 18« 61' 66," 89 = «.
Hier ist Z = 0,639 und 2> = 688, daher 6,2 + 20,6
= 26,8 zu 412,8 = 489,6 oder 440 -f ♦»lOl = »
= 9,6336641 (1. Meth.); 439,6 — 0,8 = 439,3 zu
♦n01 = aj=^»640 (2. Meth.) und «==—0,26 + 6,19
+ 20,64 + 412,8 + *nOl = ♦»540.4 (8. Meth.)
= ♦»640.489 (zehnst).
8. Beisp. (S. 887). log. ctg, dO^ S^' 8,"6 = «.
Für Bückwärtsinterpolation ist Z = 0,14 ra
D = 481, wodurch 19,2 + 48,1 = 67,3 ist, was
wegen Zunahme der Logarithmen von nn^ten
nach oben zu ^^486 addirt a;=:0,22d6563 (1. Meth.),
mit dem Zusätze + 0,8 = 67,6 aber x = ♦•64
(2. Meth.) und ♦•63.6 (3. Meth.) giebt, bei a; =
♦•63.756 (zehnst.).
4. Beisp. (S. 244). Zo^. co«. 6*48' 86»"66 = x.
Wegen Z = 0,656 und D = 26 hat man 0,15
+ 1,26=1,4 zu 15,0=16,4, oder hier wegen 100:4
= 26 sofort 65,6:4 = 16,4. Dies subtrahirt von
♦•16 giebt X = 9,9970000 (1. Meth.), wegen — 16,4
— 0,8 = — 16,7 dagegen a? = 9,9969999 (2. Meth.)
= ^'9.3 (8. Meth.) = ^^.451 (zehnst.).
6. Beisp. (S. 837). %,««.67*44'4"=«. Hier
ist wegen 0,4 X 86 = 34,4 sofort x = 9,9663471
(1. Meth.) = ♦•72 (2. Meth.) = ♦•71.7 (8. Meth.)
= ♦•71.728 (zehnst.).
6. Beisp. (S. 243). log. tg. 83«26'28,"64 = «.
Für D = 1855 ist das nächste Dr = 1864 ba
Z=0,864, daher 0,4 zu P= 656,8 addirt = 656,7
und mit ♦^2411 giebt x = 0,9393068 (1. Meth.), mit
dem Zusätze — 0,8 + 656,7 = 666,4 zu ♦*2411
ist « = ^^8067 (2. Meth.) = ♦'7.4 (3. Meth.)
= ^'7.426 (zehnst.).
7. Beisp. (S. 222), log. ctg. 86«69'8,"665 = «.
Zum Kückwärtsinterpoliren hat man Z = 0,1345,
D = 4009 und i^ = 6. Ohne Q und ohne Rück«
sieht auf den Zusatz (§.26, 2. a.) ist für 2>r = 401O
nur ^ = — 0,1 zu P = 639,8 giebt 639,2 za
X = *»064 sofort « = 8,7214693 (l.Meth.). Deroor-
rigirte Zusatz würde geben + 0,25 — 0,07 = + 0,18
= + 0,2 zu 639,2 = 539,4 und zu i = ♦»054 auch
X = ♦*698 (2. Meth.) = ♦»593.4 (3. Meth.). Mit
Q =: + 0,8 aber entsteht bezüglich 539^ + 0,8
= 639,5 zu i = ♦«064 nun a? = ^»694 (1. Meth.),
femer 539,4 + 0,3 = 639,7 zu i = ♦»054 auch
X = ♦»594 (2. Meth.) = ♦»693.7 (8. Meth.) =
♦»693.604 (zehnst).
8. Beisp. (S. 222). log. cos. 86*60'25,"28 = x.
Hier ist Z = 0,628, D= 3814 (S. 205), ^ = 4 und
Q = — 0,5, daher — 0,5 mit P = 2013,8 giebt
2018,8 und von L s ♦•4968 subtrahirt x = 8,7412965
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15
Tafel n. A. Logarithmus einer Function gesucht
[§. 78 - 83.
(1. Meth.) = ♦«54 (2. Meth.) = ♦•54.4 (3. Meth.)
= ♦•54.370 (zehnst.).
79 Die Interpolationstafel (Tafel IQ.) ist, wie
schon §. 80 angedeutet, für die grossen Differen-
zen der Tafel 11. besonders eingerichtet worden.
Bei der grössten Differenz 4031 (S. 222, 2. Diffe-
renzenspalte) war es mit Anwendung der Hülfs-
tafel (Art. 4, 11 ff. und 23 ff.) möglich geworden
den Umfang der Tafel HI. auf 2) = 40 bis 409
and daher auf 74 Seiten zu beschranken, und es ist für
die ganze dritte Differenzenspalte und fast far die
Hälfte der ersten (S. 367 bis 473) die Hülfstafel
nicht einmal erforderlich. Jedoch ist es eben der
Gebrauch der Hülfstafel mit ihren kleinen Zahlen,
durch welchen die Interpolation mit grossen Diffe-
renzen bequem und wegen der zweiten Decimal-
atelle von P zugleich scharf wird. Es soll daher
unter Beziehung auf §. 31 auch hier die nöthige
Anleitung gegeben werden.
80 1. Wenn 2) < 40 ist, bleibt die dann beque-
mere Randtafel in Anwendung.
2. Ist D = 40 bis 409, so giebt schon die Hanpt-
- tafel P . unmittelbar zwei (Art. 5) und mittelbar
(Art 6) die übrigen Decimalstellen von Z,
1. Beisp. (S.40, §. 78, 1. Beisp.). Für 2) = 232
imd Z = 0,48 ist P = 111,36 wie dort.
2. Beisp. Wäre Z=0,4896, so hätte man noch
8. 41) 2,23 (statt 222,72) und P = 113,6.
8. Ist D = 411 bis 4031, so wird nach Art 11
bi« 13 auch die Hülfstafel angewendet.
1. Beisp. (S. 2, §. 78, 3. Beisp.). Für 2) = 481
= 480 + 1 und -Zr = 0,14 ist P = 67,2 + 0,1 =
67^ wie dort
2. Beisp. (S. 30, §. 78, 6. Beisp.). Für 2> = 1855
= 1850 + 5 und Z = 0,354 ist P = 647,5 -f- 1,8
+ 7,4 = 656,7 wie dort
8. Beisp. (8.74, §.78, 7. Beisp.). Für D = 4009
= 4010 — 1 und Z = 0,1346 ist P = 621,3 — 0,1
-j- 18,0 = 639,2 wie dort
81 Für das Aufschlagen und Interpoliren
der sechsstelligen Logarithmen ist als Ab-
weichung von dem Verfahren bei siebenstelligen
nur Folgendes zu bemerken :
1. Hat der gegebene Winkel weder Einer noch
Decimalstellen der Secundefl, so liest man den
Logarithmus nach §. 44» 1. als sechsstellig ab.
2. Kommt bei der Interpolation kleiner Winkel
B und T in Anwendung, so werden letztere ohne
Interpolation entnommen. Nur bei den grösseren
Differenzen schätzt man nach den Einem der Se-
cunden die Grösse der siebenten Decimalstelle ab,
um sie als Zehntel mit der siebenten Mantisse Ton
log, a" oder mit dem Prpthl desselben zu vereinigen.
1. Beisp. (S. 183, §. 74, 2. a, 1. Beisp.). Für
0M6'25,"73 erhält man nach §. 74, 1. zu-
nächst log, sin, und log, ig, = 7,679, dann
log, a" = ♦*758.0, 8 = **573.2 und T == ♦*57a2,
daher log, sin. 0« 16' 25,"73 = 7,679331 und
log. tg, 0*16'25,"73 = 7,679336.
2. Beisp. (das. 4. Beisp.). Für 2*44'17,"54
ist zunächst log, sin. und log. tg, = 8,679,
dann log, a" = *<768.6, S = **409.5 und T =
**905.7, daher log. sin, 2''44'17,"54 = 8,679178 und
log, tg. 2» 44' 17,"54 = 8,679674.
3. Beisp. (S. 199 das. 5. Beisp.). Für2®67'52,"173
ist zunächst log, sin, = 8,713 und log, tg, = 8,714,
dann log^ a" = ♦'•2Ö2.9, 8 = *<381.1 und T =
'^*962.7, daher log. sin, 2«67'52,"173 = 8,713634
und log, tg, 20 57'52,"173 = 8,714216.
3. Muss man für einen Winkel yon 3 bis 87 Grad
interpoliren, so sucht man die Differenz D wie
§. 44, 2. nach dem unterschiede der siebenten
Mantissen, wobei man auf S. 222 bis 299 die
Prpthle unter der der Difibrenz D zunächst
liegenden Differenz D, der Randtafel (§. 76 und
§. 77, 4.) anwendet, schneidet dabei von den Prp-
thlen eine Stelle mehr ab und rechnet nur nach der
1. Meth. Wollte man die Interpolationstafel Ta-
fel in. anwenden (vergl. §. 31), so fallt der Ge-
brauch ihrer Hülfstafel aus, indem man die nächste
mit 0 endende Differenz 1) zu Grunde legt Auch
hat man keine Bücksicht auf die zweite Differenz
J (§. 77, 5. bis 9.) zu nehmen.
1. Beisp. (S. 457, §. 78, 1. Beisp.).
log. sin. 42*14' 24,"8 = x. ffier ist 1,9 + 9,3
= 11,2 zu ♦»13.5 = *^6, daher x = 9,827525.
2. Beisp. (S. 222, §. 78, 7. Beisp.).
log. ctg. 86* 59' 8,"655=a;. Beim Rückwärtsinterpo-
liren Z=i 0,1345 und für D = 4009 sofort Dr =4010
angewendet, ist 0,2 -f- 1,6 + 12,0 + 40,1 = 53,9 = P
zu ♦*405.4 = ♦M59 und x = 8,721459. Tafel III.
(S. 74) giebt unter 2> = 401 sofort 62,13 + 1,8
= 63,9 = P.
AufiEmchiiiig des Winkels bu einem gegebeaen IiogarithmiiB einer trigonometriaohen
Fnnotion.
82 Es kann hier nur yon der Aufgabe die Rede
sein, zu einem gegebenen Logarithmus den zuge-
hörigen spitzen Winkel zu bestimmen (§. 64).
Findet sich der Logarithmus in der Tafel H. ge-
nau Tor, so ergiebt sich der gesuchte Winkel un-
mittelbar aus dem zugehörigen Eingange. Ist aber
jener Logarithmus nicht genau in Tafel n. ent-
halten, so wird man doch zunächst erkennen, ob
der sugehörige Winkel zwischen 8 und 87 Grad
liegt oder nicht.
I 83 Im letzteren Falle, wenn der gegebeneLo-
garithmus £u S. 204 bis 221 der Tafel IL ge-
hört, wird man den gesuchten Winkel nach Ta-
fel I. bestimmen.
Hierbei ergeben sich nach §. 68 und S. 1 Über-
sicht folgende Fälle:
1. Wenn der gegebene log, tg. x zur dritten
Logarithmenspalte gehört, so dass x zwischen 87
und 90 Grad liegt, so berechnet man seil) Com«
plement (§. 42) und betrachtet es als log, tg. o»
wo dann o? = 90 — a ist {§. 68, 6). .
2* Wenn der gegebene log. ctg. x zur zweiten
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§.88.84.]
Tafel II. B. Winkel zum Logarithmus gesucht
16
Logarithmenflpalte gehfirt, bo dass x zwischen 87
nnd ' 90 Ghrad liegt, bo betrachtet .man ihn als
log, tg. o, wo dann a; = 90 — a ist (§. 68, 6).
8. Wenn der gegebene log, eoa. x zur ersten
Logarithmenspalte gehört, so dass x zwischen 87
und 90 Grad liegt, so betrachtet man ihn als
log. sin. a, wo dann « = 90 — a ist (§. 6% 4).
4. Wenn der gegebene log. ctg. x zur dritten
Logarithmenspalte gehört, so dass x zwischen 0
nnd 8 Grad liegt, so berechnet man sein Comple-
' ment und betraditet es als log. tg. a, wo dann
d$ = a ist (§. 68, 8.).
5. Wenn der gegebene log. sin. x zur ersten
oder log. tg. x zur zweiten Logarithmenspalte ge-
hört, so liegt X zwischen 0 und 3 Grad und kann
unmittelbar bestimmt werden (§. 68, 1. 2.), wie in
den Tier ersten Fallen a für log. sin. a und log.tg. a.
84 Um nun die Einer und Deoimalstellen
der Secunden des Winkels a för log. sin. a
oder log. tg. a zu ermitteln, verföhrt man auf fol-
gende Weise:
1. Man sucht den ihm zunächst liegenden Loga-
rithmus in den beiden letzten Spalten (Log. Sin.f
Log. Tang.) derFusstafel der Tafel I. auf (§. 74, 1.).
2. Nun ist in der letzten Zeile der Fusstafel
neben Ja** unter S und T der grösste Fehler be-
merkt, der in der Bestimmung des gesuchten Win-
kels entstehen könnte, wenn man daq'enige S oder
T entnähme, welches sich in derselben Zeile
mit jenem zunächst liegenden log. sin. oder hg. tg,
befindet Beabsichtigt man daher eine grössere
Genauigkeit, so muss 8 und T interpolirt werden.
8. Zu diesem Zwecke wird man die Differenz
b der beiden anliegenden log. sin, oder log. tg.
nach Haassgabe der unter D eingetragenen
Differenz Ton 8 oder T nur mit einer oder zwei
der ersten von einander verschiedenen Mantissen
und dann f&r dieselben Mantissen dieDifferenza
des gegebenen und des ihm zunächst liegenden
Logarithmus berechnen. Dann wird man t- ^^
obiger Differenz D multipliciren , um den Prpthl
zu erhalten, welchen man in entsprechender Weise
mit dem 8 oder T zu rereinigen hat, welches in
derselben Zeile mit jenem zunächst liegenden Lo-
garithmus Hegt, z.B. (§.74,2.a;4.Bei8p.) 8,6791781
s= log. sin. x. Für diesen findet man S. 188 di^
beiden anliegenden
log. sin. 2*44' 10" = 8,6788460
und log. sin. 2<»44'20" = 8,6792864,
deren Differenz h = *^44
und die Differenz des grösseren vom
gegebenen oder a = ♦^ll ist.
Die Differenz der entsprechenden iS" ist J> s= 34.
Man hat daher -^ D s= 4tX 84: = 8 zu dem
0 44
entsprechenden 8 = *'94.5 zu addiren, um das
inteipolirte 8 =r 4,6854096.8 zu erhalten.
4. Da nun aus log. sin. a'=: 8 + log. a"
{§.68, 1.) log. a" = log. sin. a — fif folgt, so wird
man 8 vom gegebenen log. sin. x subtrahiren,
um log. x** z= 8,9937685.7 zu erhalten , wozu man
aus der Haupttafel den Winkel x entnimmt. Hier
findet man den nächst kleineren Logarithmus
,9937668 = log. 9657,5. Obige Kennziffer 8 deutet
durch das unten eingetragene ib. 8 (§. 70) auch
auf die zweite der linken Randspalten, nach welcher
X = 2^44'17,"5 ist. Die Interpolation giebt die
zweite Decimalstelle der 8ecunden 4 und somit ist
« = 2<^ 44' 17," 54. Mit dem nicht interpolirten
8 = **94.5 würde man 17,"548 erhalten haben.
5. EUeraus ergiebt sich folgendes einfachere
Verfahren. Die Yergleichung des log, sin. x
mit den anliegenden Log. Sin. der Fusstafel in
den zwei ersten abweichenden Mantissen, näm-
lich *^17 mit *^28 zeigt zunächst, dass x näher an
20" als an 10" liege, woraus sich nach der zweiten
der linken Randspalten die Gegend des log. x" in
der Haupttafel bis auf wenige Zeilen genau ergiebt.
Jene Yergleichung zeigt aber auch femer, wie
viele der letzten Mantissen von log. x" zur Be-
stimmung von X erforderlich sind. Hier jgenügen
drei. Man wird daher durch obige Lotterpolation
(nach 8.) die entsprechenden (hier Tier) Decimal-
steUen von 8 = * "095.3 bestimmen, von log. sin. x
=z*^Ql subtrahiren und den Rest J<^. «" = **685.7
in der Haupttafel aufsuchen.
6. Folgende Beispiele werden die weitere Aus-
führung des Gesagten noch näher zeigen:
1. Beisp. (S. 215). 1,4764682 =%.^^.a:. Wird
dafor (nach §. 83, 1.) 8,5235368 = log. ^< a ge-
sucht', so Hegt dieser (S. 123) näher an 40" als an
50" und erfordert die Berechnung der vier letzten
Mantissen des log. a". Nun hat man —- 2>
o
21
=:-^X47 = 16 zu T för 40" zu addiren und er-
hält T = *^361.8. Dieses von log. tg. a=*«5368
subtrahirt giebt *«8006.7 = log. a". In der be-
kannten Gegend der Haupttafel findet sich für
a = 1*54'43,"8 der Logarithmus *«7967, den man
wegen des 2. Falles der 2. Methode und §. 57 als
*^967.0 in Rechnung nimmt. Der Überschuss
39,7 giebt unter J> = 63 die Ziffern 63 und somit
a = l*54'48,"36d und « = 88«6'16,"637. — Wollte
man nur zwei Dedmalstellen der Secunden, so
fiele wegen Ja** = 0,"004 die Interpolation von
Taus und man hätte r=**7360, log. o" = **800^
a = 1«54'43,"365 und » = 88» 5' 16,"635.
2. B e isp. (S. 55, §. 83, 2.). 8,2246048 = log. ctg. »
s log. tg. a. Da der Fehler J a" in der Mitte zwischen
zwei Winkeln der Fusstafel eintritt, so wird man
hier, wo der gegebene Logarithmus nahe an
log. tg. 0<*57'40" liegt, schon mit dem zugehörigen
T = **6156 auch ohne Interpolation drei Dedmal-
stellen der Secunden sicher finden können. Man
erhält nämlich log. a"=*<9892und aus der Haupt-
tafel a = 0»57'39,"308 und x = 8902'20,"692.
8. Beisp. (S. 206, §.83, 8.). 7,8630002 ^ Zo^.co«^
13
= log. sin. a. Die kleine Interpolation (S. 16) — x 6
=2giebt5=*W10.2 in der Mitte zwischen 0 und
10" und log. a" = ♦^4291.8 und wiederum wegen
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17
Tafel n. B. Winkel zam Logarithmus gesucht
[§. 84. 86.
§. 57 = «^4292; woro a =: 0*25' 4," 628 und
« = 89»34'56,"372 wird.
4. Bei sp. (S. 221, §. 83, 4.), 1,2848907 = log, ctg. x
oder 8,7151093 = log. ig. a giebt (S. 199) ^ X 73
= 30 zur Interpolation, wo 73 = 2x41 — 9 und
desludb 34 — 4 = 30 ist. Daher ist T = *<^642.5
und log. a" = ♦»450.5, mithin a = 2«68'14,"1200
= X.
6. Beisp. (8. 204). 7,4048903 = log. ig. x. We-
gen §. 83, 5. unmittelbar T =: *«5758.0 (S. 90)
entnommen, giebt {o^. o^' == *^8145.0 und bei et^a
43%" zunächst x = 0'^8'43,"37 mit dem Über-
flchusse 57 (1 Meih.) oder 56,7 (2. Meth.), wofür
man noch bezüglich 69 oder 68 erhält. Es ist da-
lier « = 0«8'43,"3769 (1. Meth. loder 43,"3768
(2. Meth.). Dasselbe erhält man auch ohne Inter-
polation von T, weil für die erste linke Bandspalte
Vio von J a" gilt, oder Ja" = 0,"0002 ist und
8,37:10= V, sich von der Mitte schon mehr ent-
fent.
► Gehört der gegebene Logarithmus zu
8. 222 bis 473 der Tafel IL, ohne sich jedoch
genan hier vorzufinden und fallt demnach der ge-
suchte Winkel zwischen 3 und 87 Grad, so
werden die Einer und Decimalstellen der Secun-
den mit Hülfe der Prpthle oder der Interpola-
tionstafel (Tafel m.) durch Interpolation be-
rechnet, wie bei den Zahlenlogarithmen die übri-
gen Ziffern der Zahl, wobei nur noch Folgendes
sa bemerken ist:
1. Wenn man den Unterschied zwischen dem
gegebenen Logarithmus und dem der Tafel nimmt,
fo erhält man den vollständigen Prpthl P = ZD,
aas welchem man mit den Prpthlen für 2> das
gesuchte Z, hier die Einer der Secunden und de-
ren Decimalstellen, berechnet. Sind aber nicht für
D, sondern f&r Dr (§. 77, 4.) die Prpthle gegeben,
ao dass jener Unterschied ZD == ZDr ± Z oder
ZDr ± 2Z ist, so muss man ihn erst von dem
zweiten Gliede ± Z oder ±2Z befreien, um den
auf Dr reducirten Prpthl ZDr = ZD + Z oder
ZD "^^ 2Z SU erhalten und mittelst der Prpthle
für Dr das gesuchte Z bestimmen zu können. Zu
dieser Beduction sind jedoch bezüglich die erste oder
die zwei ersten Decimalstellen von Z zureichend,
welche mit ZD auch aus den Prpthlen für Dr
genau entnommen werden können, um bezüglich
das Einfache oder Doppelte davon (Z oder 2Z}
mit entgegengesetzten Zeichen zu obigem Unter-
schiede hinzuzufügen und aus dem so erhaltenen
ZDr das gesuchte Z endgültig zu berechnen.
1. Beisp. (S. 243, §. 78, 6. Beisp., 2. Meth.).
0,9393067 = log. tg. x. Hier giebt log. tg. 83«26'20" =
0,9392411 den Unterschied 656,3 (2. Meth.) für
D = 1855. Nach Dr = 1864 aber wird vorläufig
Z = 0,4 und 656,3 — 0,4 = 655,9 auf A = 1854
redudrt, um hieraus Z zu finden. Es ist nämlich
655,9 — 556,2 (für 3) = 99,7, hiervon 92,7 (für 5)
bleibt 7,0 und 7,4 für 4 giebt Z'z=z 0,354 und da-
durch X = 88*26'23,"54 wie dort
2. Beisp. (8. 287). 8,9900980 s= log. sin. x hat
zum näher liegenden den nächst grösseren
log. sin. 5<^ 36' 50'' = 8,9904461 mit dem Unterschiede
531 für D = 2143. Nun ist das nächste Dr =s
2145, nach welchem man mit 531 vorläufig J?=: 0,25
erhält. Man wird daher mit + 2Z =s •}• Ofi den
Unterschied 531 auf Dr = 2145 redueiren und mit
dem erhaltenen 5314-0,5 = 581,5 nach Dr finden:
581,5 — 429,0 (für 2) = 102,5, davon 86,8 (für 4),
bleibt 16,7, davon 15,0 (für 7) bleibt 1,7 (f&r 8),
daher ist das gesuchte Z = 0,2478. Dadurdi wird
X = 5« 36' 50" — 2,"478 = 5« 86' 47,"622.
2. Bei Berücksichtigung der zweiten Differenzen
(§. 77, 5. bis 9.) ist der Unterschied zwischen dem
gegebenen Logarithmus und dem der Tafel =
P+Q=z ZD — y^Z (1— Z) J, welcher in ahn-
lieber Weise wegen J auf ZD reducirt werden
muss. Auch hier wird man mit jenem Unterschiede
nach D (oder Dr) die erste Decimalstelle von Z
vorläufig bestimmen, mit diesem Z und J aus der
Tafel (§. 77, 8.) den Werth von Q und nach §. 77, 9
sein Zeichen entnehmen, mit entgegengesetztem
Zeichen mit jenem Unterschiede vereinigen und
mit diesem reducirten Unterschiede nach D (oder
Dr) das endgültige Z berechnen; z. B. (S. 222,
§. 78, 8. Beisp., 2. Meih.): 8,7412954 = log. cos. x.
Der log. cos. 86« 50' 20" = 8,7414968 giebt den
Unterschied 2013,7 für J> = 8814 (8. 205) und
^ = 4, hiemach vorläufig Z = 0,5 und nun auch
Q =. — 0,5 wegen des rechten Einganges. Man
erhält daher bei entgegengesetzten Zeichen von
Q mit 2013,7 -f 0,5 =: 2014,2 nacti D = 8814
zunächst 2014,2 — 1907,0 (für 5) = 107,2, davon 76,3
(für 2) bl^bt 30,9 und endlich 30,5 (für 8), so dass
Z= 0,528 und aj = 86*50' 25,"28 entsteht, wie dort
3. Für die übrigen Functionen der beiden Ein-,
gange mögen noch folgende Beispiele dienen :
1. Beisp. (S. 259). 9,2105942 = log.tg.x. Der
näher liegende nächst grössere log. tg. 9* 18' 80^
= 9,2106194 giebt für Kückwärtsinterpolation den
Unterschied 252 (1. Meth.) und 251,7 (2.' Meth.) zu
2) = 1381. Wegen Dr =1830 ist vorläufig Z=OA
daher der corrigirte Unterschied 251,8 (1. Meth.)
und 251,5 (2. Meth.) und für jede Methode Zss 0,189
oder « = 9« 13' 80" — 1,"89 = 9n8'28,"ll.
' 2. Beisp. (S. 842). 0,3707218 = log. ctg. x. Für
den nächst kleineren Winkel ist log. ctg. 23* 4' 0"
= 0,8707447 und der Unterschied 234 (1. Meth.) und
233,7 (2. Meth.) für D = 584. Durch 288,6 zu 4
bezüglich ein Yorrath von 0,4 und 0,1, woraus noch
Ol und 00, sowie x = 23*4'4,"01 und 4,"00 folgt
8. Beisp. (S. 206). 9,9999862 = log. cos. x. Die
Logarithmen der vierten Spalte werden auch für
0 _ 3^(87 — 90«) in Tafel n. gesucht Hier fallt
a; in die Mitte von 20" und 80" und es ist x :=
0^27' 25" mit einer Unsicherheit Vjon einigen Se-
cunden. Man sieht, dass durch grosse Sinus und
Cosinus die Winkel nicht genau bestimmt sind.
4. Beisp. (S.403). 9,9220113 = log. sin. x. Der
nächst kleinere log. sin. 56« 40' 50" =: 9,9220093
lässt den Unterschied 20 für D = 139, welcher
1,"44 und d? = 56«40'5V'44 giebt
5. Beisp. (S. 429). 9,8864000 =7o^.c^.« giebt
8
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§. 86 — aB.]
Tafel n. B. Winkel zum Logarithmus gesucht
18
mit log. etg. 6a'24'd(y' = 9,8864185 den unter-
schied 185 sa 2> = 435, woraus 4,"25 nnd x =
62«24'84,"25 folgt
4. Wenn ein gegebener LogaritlimaB ans logarith-
mischen Rechnungen hervorgegangen, also seine
leiste Mantisse unzuverlässig ist; so würde die
vorstehende Scharfe der Rechnung, bei welcher die
Genauigkeit über den Stellenwerth jener Mantisse
hinaus getrieben wird, zwecklos sein, und wenn
man dieselbe dessenungeachtet zur Ausfuhrung
bringt, so kann dies nur geschehen, um innerhalb
jener Grenze ganz sicher zu sein.
86 Die Einer und DecimalsteQen der Secunden
oder der Z können aus dem Unterschiede P (§. 85, 1.),
nachdem dieser nöthigenfalls wegen des Zusatzes
(§.56 ff.) und wegen Q (§.85, 2. und §. 77, 8. und
9.) corrigirt worden ist, auch hier wie §. 61 mit
Hülfe der Interpolationstafel (Tafel in.)
[vergl. §. 79] bestimmt werden.
1. Ist D= 40 bis 409, so entnimmt man aus der
Haupttafel (Art 18 bis 21) unmittelbar zwei und
mittelbar die übrigen Decimalstellen von Z, z. B.
(§. 85, 8., 4. Beisp.): Aus P =: 20 und D = 139
folgt (S. 20) Z = 0,14 unmittelbar durch 19,46
nnd für 20 — 19,46 = 0,54 aus %« X 6,56 zu
Z =s 0,04 mittelbar Z = 0,004 oder das gesuchte
Z = 0,144 wie dort
2. Ist aber D = 411 bis 4081, so kommt nach
Art 23 und 24 auch die Hülfstafel in Anwendung-
1. Beisp. (§. 85, 1., 1. Beisp.). Zu P r= 656,8
bei D = 1855 = 1850 + 5 erhält man (S. 30)
p z=i 1,8, daher 10 P = 656,8 — 1,8 = 654,5.
Hiervon 647,5 f ür Z = 0,35 bleibt 7,0, welches
wegen 7,40 = 0,04 X 185 = 0,004 X 1850 noch
J?= 0,004 und daher das gesuchte Z=: 0,854 giebt^
wie dort
2. Beisp. (das. 2. Beisp.). Zu Pr=531 bei D =
2143 = 2140 + 8 ist (S. 36) p = 0,8, daher 10 P
s 530,2. Davon 513,6 tar Z = 0,24 bleibt 16,6,
dem (S. 87) 0,0078 X 2140 entspricht Daher ist
Z z= 0,2478 wie dort.
87 Ist ein sechsstelliger Logarithmtis gege-
ben (vergL §. 43 f., 62 und 81), so findet er sich
entweder nach §. 44, 1. genau vor, wo dann der
gesuchte Winkel sofort entnommen werden kann,
oder man muss interpoliren, wofür nur Folgendes
BU bemerken ist : v
1. Muss man für kleine Winkel 8 und T an-
wenden, so werden diese Zahlen nach §. 81, 2.
ohne Interpolation oder nach leichter Schätzung
entnommen.
1. Beisp. (S.182, §. 81, 2., 1. Beisp.). 7,679336
=s log. ig. X. Hier ist zunächst x = 0^16'20"
und näher an 30" als an 20". Daher T = *«578.2
von hg. ig. a sz **SSS bleibt log. «" = •*757.8,
wozu (8. 188 oben) « = 0» 16'25,'73 gehört, wie dort
2. Beisp. (8. 183, das. 2. Beisp.). 8,679178 =
log. st«. X. Hier ist zunächst s; = 2^44' lO'' und
ebenfalls näher an 20" als an 10", daher 8 =
•*409.5 und ♦•178 — ♦•409.6 = ♦•768.5 = log. «"
und xz=z2^U* 17,"54 wie dort.
3. Beisp. (S. 199, das. 3. Beisp.). 8,714216 =
logjg.x. Hier ist zunächst x = 2»57' 50"+ % X 10",
daher T = ♦•962.5 + 0.2 = ♦*962.7 und lo^. «-'
= ♦•253,3 oder 0 = 2« 57' 52,"18. Die Abweichung
von 0,"007 wird durch den sechsstelligen Logarith-
mus nicht vertreten.
2. Fällt der Logarithmus auf S. 222 bis 478
(3* — 87^, so gilt auch hier das §. 81, 3. Bemerkte.
1 Beisp. (S.457, §.81, 3., 1. Beisp.). 9,827526
= log.8in.x. Der Unterschied 11.5 unter JD = 282
giebt Z = 0,5 (116,0 für 5) und « = 42« 14' 25".
Die Abweichung um 0,"2 wie unter 1., 3. Beisp.
2. Beisp. (S. 222, das. 2. Beisp.). 8,721459 =:
log. etg. x. Für Rückwärtsinterpolation ist der
Unterschied 53,6 für D = 4009 oder Dr == 4010.
Daher 53,6 — 40,1 (401,0 für 1) =: 13,5 und 13,5
— 12,0 (1203,0 für 8) = 1,5, wozu 4 (1604,0) g».
hört. Die Ergänzung von 0,134 ist 0,866, daher
di=86*59'8,''66 mit einer Abweichung von 0,"005.
Länge der Kreisbogen für den Halb- i
messer 1. (8. 474). Soll ein in Ghtiden, Minuten
und Secunden gegebener Winkel oder ein ihn
messender Kreisbogen durch eine Zahl dargestellt
werden, deren Einheit der Halbmesser dieses Kreis-
bogens ist, soll demnach die Länge des Kreisbogeos
für den l^bmesser 1 bestimmt werden, so giebt
diese Tafel die hierzu nöthigen Zahlen an, durch
deren Addition das Verlangte gefunden wird.
Ist dagegen ein Winkel oder dessen Bogen in
Theilen des Halbmessers = 1 gegeben, so, wird
man durch Subtraotion der nächst kleineren Zalilen
die Grade, Minuten und Secunden und deren Ded-
malBtellen finden können, welche dem gegebenen
Winkel oder Bogen entsprechen. Z. B. Es soll für
75*29'13,"42 die Länge des Kreisbogens mit sieben
sicheren Dedmalstellen gesucht werden.
75« 1,30899 6939
29' 843 5768
18" 6 3026
0,42 2036
X = 1,31749 78
Man sucht
aus dieser Bogenlänge wieder den
Winkel
in Graden u. s. w.
1,31749 78
7b^ 1,30899 694
850 086
29' 843 576
6 510
13" 6 308
207
0,42 204
«s
= 75« 2^13,"^
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Tafel I.
Gemeine oder briggische
LOGARITHMEN
der
najtOrlichen Zahlen von 1 bis 108000
und
der trigonometrischen Hülfszahlen S und T
für
die Winkel a von 0 bis 3 Grad
mr Berechnnng der
LOGARITHMEN
fflr
die Sinus; Tangenten und Cotangenten der Winkel a von 0 bis 8 Grad
und
* die Gosinns, Cotangenten und Tangenten der Winkel (90 — a) von 87 bis 90 Grad.
Übersicht.
Abtheilong.
Die Zahlen
Die Winkel a
Seite.
Ton
bis
Ton
bis
in
1
1
1000
0" 0'. 0"
0 0 0
0 0 0
00 0' 1"
0 0 10
0 1 40
O/'OOl
0,01
0,1
2 bis 5.
S
1000
100 000
0 1 40
0 16 40
0 16 40
2 46 40
0,01
0,1
6 bis 186.
8
loMtoo
108 000
2 46 40
3 0 0
0.1
186 bis SOL
1) Log. Sin. a = S + Log. a".
8) Log. Tang, a = T + Log. a".
•) Log. Cotg. a = — Log. Tang, a
— Cp. Log. Tang.a
nach 2.
4) Log. Cos. (90 — a) ss Log. Sin. a nach 1.
5) Log. Cotg. (90 — a) =: Log. Tang, a nach 2.
6) Log. Tang. (90— a) = — Log. Tang, a
= Cp. Log. Tang.
:i
nach 2.
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It
Num.
Log. "
Num.
Log.
II
Num,
Log.
II
Num.
Log.
"•
Num.
Log.
0
0
09
6
50
698 9700
10
100
000 0000
15
150
176 0913
20
200
301 0300
1
000 0000
51
707 5702
101
004 3214
151
178 976911
201
303 1961
2
301 0300
52
716 0033
102
008 6002
152
181 8436
202
305 3514
3
477 12ll
53
724 2759
103
012 8372
153
184 6914
203
307 4960
4
602 0600
54
732 3938
104
017 0333
164
187 5207
204
309 6302
5
698 9700
55
740 3627
106
021 1893 1
156
190 3317
205
311 7539
6
778 1513
56
748 188Ö
106
026 30591
156
193 1246
206
313 8672
7
.845 098Ö
67
755 8749
107
029 3838|
157
195 8997
207
316 9703
8
903 0900
58
763 4280
108
033 4238
158
198 6571
208
31S 0633
9
954 2425
59
770 8520
109
037 4265
169
201 397l
209
320 1463
1
10
OQO 0000
6
60
778 1513
u
110
041 3927
16
160
204 1200
21
210
322 2193
11
041 3927
61
785 3298
111
045 323Ö
161
206 8259
211
324 2825
•
12
079 1812
62
792 3917
112
049 2180
162
209 6150
212
326 3359
13
113 9434
63
799 3405
113
053 0784
163
212 1876
213
328 3796
14
146 1280
64
806 1800
114
056 9049
164
214 8438
•
214
330 4138
15
176 0913
66
812 9134
116
060 6978
165
217 4839
215
332 4385
16
204 1200
66
819 5439
116
064 4580
166
220 1081
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1
Digitized by
Google
Tafel IL
Gemeine oder briggisehe
LOGARITHMEN
der
Sinus 9 Tangenten, Cotangenten und Cosinus
aller Winkel des Quadranten
von 10 zu 10 Seounden
nebst
den Differenzen und deren Proportionaltheile von 8» O* bis 87 ^ 0*.
Digitized by LjOOQIC
204
00
^
00 0'-
-10'.
1
M.
S.
Sin.
Tang.
Cotang.
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II
1
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Ü
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.
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223
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M.
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869
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224
30
30 20' — 30'.
M.
S.
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21
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Cosin.
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3441
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Tang.
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D.c.
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3626
3622
3620
3617
3614
3611
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3471
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3465
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3454
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Cotang.
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Sin.
40
39
38
37
36
35
34
33
32
31
30
P. P. auch z. vor. S.
12
1,2
2,4
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2537^
2900,0
3262;5
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|2520,0 ,2516,5
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M.
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S. f. B. u. & 910.
860
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M.
S.
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40 0
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35
36
37
38
39
Sin.
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8,7860
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8,7867
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.3436
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594
97Ö
344
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45l
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3287
3285
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3430
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'3308
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Cotang.
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Cosin.
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D| "
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D S
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Cosin.
Diff.
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2558
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2507
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D
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S.
f. S.
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t
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Sl
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30
Sin.
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Cosin.
Diff.
2256
2255
2254
2252
2252
2250
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2247
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2240
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2233
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2225
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2223
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2220
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2218
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2214
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2212
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2210
2208
2208
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2200
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2188
2188
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Diff.
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Ö
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i
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Cotang.
Cotang.
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D. c.
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2260
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2235
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2218
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2208
2208
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D. c. Tang.
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Sin.
P.P.auchz.v.u.f.S.
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3D
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31
30
M.
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1984.5
S. f. S.
840
Digitized by
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Cosin.
Diff.
2188
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2130
2128
2128
2127
2125
2125
2123
2123
2121
Diff.
Tang.
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Cotang.
D.c.
2208
2206
2206
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2186
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2179
2179*
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2174
!U72
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2149
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2147
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2145
2143
2142
D.c.
50
^ Cotang.
237
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2121
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2069
2067
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2066
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2061
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.2135
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2125
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2120
2120
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2115
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2109
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2106
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2103
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9,9978
9.9978
9,9978
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•557
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9,9978
9,9978
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Cosiii.
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1971
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1965
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1963
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1961
1960
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1956
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1954
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1952
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1949
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D.c.
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2000
2000
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1998
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1993
1991
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1990
1989
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1987-
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1985
1983
1983
1981
1981
1980
1979
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M.
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S. f. S.
830
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1949
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1935
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1927
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1925
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1963
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1949
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Cotang.
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9,9969
9,9968
9,9968
9,9968
9,9968
Cosin. D
25
26
25
25
25
26
25
25
26
25
25
26
25
25
26
25
25
26
25
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9,9968
9,9968
9,9968
9,9968
9,9968
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Sin.
10
P. P. auch z. vor. S.
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6
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S. V. S.
830
16*
Digitized by
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346
M.
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Diff.
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1713
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1712
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1711
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1709
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1695
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1684
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1675
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D.c.
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1740
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D
26
26
26
26
25
26
26
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9,9967 326 oß
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26
26
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9,9967 144 ;r^
AD
26
26
26
26
26
26
26
26
26
26
27
26
26
26
26
26
26
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26
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9,9966 438 ''^
26
26
26
27
26
26
27
26
26
27
26
27
26
26
27
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9,9965 990 oß
9,9965 964r*'
"27
9,9965 937!2ß
D
Sin.
S.
52
51
50
M.
60
59
58
57
56
55
54
53
P. P. auch z. folg. S.
25
2,5
5,0
7,5
10,0
12,5
16,0
17,5
20,0
22,5
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17
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15
14
13
12
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10
P. P. auch z. folg. &
"^28 1592 ISSS
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5,6
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820
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1559
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1555
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1543
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29
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30
29
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29
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D
P. P. auch z. vor. S.
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0
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30
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50
0
10
20
30
40
50
0
.10
20
30
40
50
0
10
20
30
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" Cosln.
Diff.
1498
1498
1497
1497
1496
1496
1495
1495
1494
1494
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1493
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1490
1490
1490
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1488
1488
1488
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1486
1485
1485
1484
1484
1483
1483
1482
1482
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1481
1480
1480
1479
1479
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1476
1476
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1474
1474
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1472
1472
1471
1470
1470
1470
1169
1468
1468
1468
1467
Diff.
Tang.
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D.c.
1528
1528
1527
1526
1526
1526
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1524
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1523
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1522
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1521
1521
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1509
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1505
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1504
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1502
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1501
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1500
1499
1498
1498
1498
1497
D. c. Tang.
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Cosin. D
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9,9957
9,9957
9,9957
9,9957
9,9957
9,9957
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9,9957
9,9957
9,9957
9,9957
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9,9957
9,9957
9,9957
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9,9956
9,9956
9,9956
9,9956
9,9956
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9,9956 125^;^
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9,9955 945
9,9955 73413^
D
Sin.
S.
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59
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57
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54
53
P. P. auch z. folg. S.
29
1
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3
4
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152,4
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51
50|
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916i
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1366i
1512
151,2
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T5ÖÖ
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1490
M.
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891,0
81« 50' — 82« 0'.
s. f. s.
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810
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0
10
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40
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90| 0
Sin.
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Diff.
1468
1467
1466
1466
1465
1465
1465
1463
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1459
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1458
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1457
1457
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1440
1440
1440
1439
1439
1438
1438
1437
' I " Cosin. Diff.
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Cotang.
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M. S.
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1368
1368
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1366
1366
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1365
1365
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1364
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Tang.
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D
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9,9947
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Sin.
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9
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M.
P. P. auch z. vor. S.
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3,3
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1326
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1325
1325
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1323
1323
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1318
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1317
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1316
1316
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1315
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Tang.
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Sin.
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Tang.
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Cotang.
D.c.
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1294
1293
1292
1292
1292
1291
1292
1290
1291
1290
1289
1290
1288
1289
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1288
1287
1288
1286
1287
1286
1285
1286
1285
1284
1284
1284
1284
1283
1283
1282
1282
1282
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1281
1281
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1280
1280
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1279
1278
1279
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1278
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1276
1276
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1275
1275
1274
1274
1273
1274
1272
1273
1272
1272
D.c
^otang.
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Cosin. D
35
35
36
35
35
35
36
35
35
36
35
35
36
35
35
36
35
36
35
35
36
35
36
35
36
35
36
35
36
35
36
35
36
36
35
36
35
36
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Tang.
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Sin.
30
29
28
27
25
24
23
22
21
20
M.
P. Pfauch z. vor. S.
36
3,6
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14,4
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125,0
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800 20' — 30'.
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129,0
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128,0
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125,3
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626,5
751,8
877,1
1002,4
1127,7
1245
124,5
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498,0
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747,0
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123,7
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618,5
742,2
865,9
989,6
1113,3
S. T. 8.
800
17'
Digitized by
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303
90
90 40' — 50'.
M. S.
40
41
42
43
44
45
46
47
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49
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0
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20
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0
10
20
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0
10
20
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0
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0
10
20
30
40
50
0
10
20
30
40
50
0
Sin.
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9,2269- 419
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9.2274 33!
9.2275 561
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Cosin.
Diff.
1236
1236
1236
1235
1235
1234
1234
1234
1233
1233
1233
1232
1232
1232
1231
1231
1231
1230
1230
1229
1229
1229
1228
1228
1228
1227
1227
1227
1226
1226
1225
1225
1225
1225
1224
1224
1223
1223
1223
1222
1222
1222
1221
1221
1220
1220
1220
1220
1219
1219
1218
1218
1218
1217
1217
1217
1216
1216
1216
1215
1215
1215
Diff.
Tang.
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9.2314 296
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9.2316 838
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9,2320 650 .„«q
O 0Q01 Q1Q J-äO*
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9.2333 331 ff°'
9.2334 597 "^^
"" 1266
9,2335 863 -^..
9.2337 128
9.2338 393
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1265
1265
1265
1264
1264
9.2343 451^ ^^^
9.2344 714 -iqco
9.2345 977 |263
9.2347 240 tt^
9.2348 502 J^W
9.2349 764 ^^^^
1262
1261
1261
1261
1260
1260
1260
9.2358 589 ,0^^
9.2359 848 ^^^^
9.2361 107
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9.2373 678 .^^^
9.2374 933 l^H
9.2376 188 ^^^
9.2377 442
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9.2386 214
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800 10' _ 20'.
Cotang.
D.c.
1272
1272
1271
1271
1271
1271
1270
1270
1269
1268
1269
1267
1268
1267
1267
1267
1259
1259
1258
1258
1257
1258
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1257
1256
1256
1256
1254
1254
1254
1253
1254
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1253
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1252
1251
1251
D.c.
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Sin.
S.
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Diff.
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1215
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1214
1213
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1205
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1197
1196
1195
1195
1195
1195
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Diff.
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1251
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9,9935
9,9935
9,9935
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9,9935
9,9935
9,9935
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«i37
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9,9935
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llkl
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D S.
10
4
P. P. auch z. vor. S.
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M.
80« C — 10'.
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D.c
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1212
1212
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1211
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1209
1209
1209
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1208
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1207
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f206
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1204
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790
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1138
1137
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1136
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D.c.
1157
1158
1157
1157
1156
1156
1156
1156
1155
1155
1165
1155
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1194
1154
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1153
1153
1153
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1152
1151
1152
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1151
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1150
1150
1149
1149
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1148
1148
1148
1148
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1147
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1146
1146
1146
1146
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1145
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1144
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1143
1143
1143
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1142
1142
1142
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1141
1141
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Cotang.
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9,9922 706 '
9,9922 666
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Sin.
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19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
S. M,
P. P. auch z. folg. S.
39
3,9
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4,0
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U5,7
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Im
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iM
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s. t S.
790
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M. S. 1
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Sin. DIE
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1100
1100
1099
1100
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1098
1099
1098
1098
1097
1098
1096
1097
1097
1096
1095
1096
1095
1095
1095
1094
1094
1094
1094
1093
1093
1092
1093
1092
1092
1091
1092
1091
1090
1091
1090
1090
1089
1089
1089
1089
1088
1088
1088
1088
1087
1087
1087
1086
1086
1086
1086
1085
1085
1085
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1085
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1084
1083
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9.2803 821
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Cosin. Diff.
Tang.
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D.c
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1140
1140
1140
1140
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1139
1139
1138
1138
1138
X138
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1137
1137
1137
1136
1136
1136
1135
1135
1135
1135
1134
1134
1134
1134
1133
1133
1133
1132
1132
1132
1132
1131
1131
1131
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1130
1130
1130
1129
1130
1128
1129
1128
1128
1128
1128
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1127
1127
1126
1126
1126
1126
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1125
1125
1124
1125
1124
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Tang.
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Cosin.
Diff.
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1067
1066
1066
1066
1065
1065
1065
1065
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1060
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1057
1057
1058
1056
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1056
1056
1055
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1055
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1054
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1052
1053
1052
1051
1052
1051
1051
1051
1050
Diff.
Tang.
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D.c.
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1108
1108
1108
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1107
1107
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1107
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1105
1106
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1105
1104
1104
1104
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1103
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1100
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1098
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D
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L2
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tl
[2
[2
[2
[2
tl
^2
^2
[2
^2
42
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42
•42
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42
42
42
42
42
42
42
42
42
42
42
42
42
42
42
42
42
43
42
42
42
42
42
42
43
42
42
D
I P. P. auch z. vor. S.
50
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109,2
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Sy. S.
780
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272
l¥
110 20'— 30'.
M. S.
30
21
22
23
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20
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40
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Diff.
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1046
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1044
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1044
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1043
1043
1043
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1042
1042
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1041
1041
1040
1041
1040
1039
1040
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.43
D
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108,2
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24
23
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21
20
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78«
18
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274
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1P40' — 50'.
M. S.
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Diff.
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1020
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1019
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lOU
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1006
1006
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1005
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D.c
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105?
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9,9f
9,9S
9^9$
9,9S
9,9£
9,9S
9,9S
9,9S
9^08 553;
9,9908 510 \
9,9908 466]
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9,9908 375 ^
L4
L4
L3
L4
L4
L4
9,9908 029 .
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9,9907 897 J
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9,9907 810 ■
9,9907
9,9907
9,9907
9,9907
9,9907
9,9907
9,9907
9,9907
9,9907
9,9907
9,9907
9,9907
9,9907
9,9907
9,9907
9,9907
9,9907
9,9907
9,9906
9,9906
9,9906
9,9906
9,9906
9,9906
9,9906
Sin.
780 10' _ 20'.
780
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IF
276
M. S.
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10
20
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10
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30
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50
Sin. Diff.
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9,3119
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9,3123
^2? 1005
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1005
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~ 1003
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816
807
798
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Cosin. Diff.
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976
976
976
97I1OOO
" 999
999
999
998
998
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998
998
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996
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1048
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1044
1044
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1043
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1040
1040
1040
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1039
1039
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1039
1038
1038
1038
1037
1037
1037
1037
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1036!
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9,9906
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044
3in. D
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S. M.
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Digitized by
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276
M. S.
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120 0' — 10'.
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&
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Cosin.
Di£
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991
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990
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990
989
989
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989
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988
988
988
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987
987
987
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986
986
986
986
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985
985
984
985
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984
983
984
983
983
983
982
982
982
982
982
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981
981
981
980
980
980
980
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980
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979
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978
978
978
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Diif.
Tang.
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1035
1035
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1034
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1031
1030
1030
1030
1030
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1029
1029
1029
1028
1029
1028
1028
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1028
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1027
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1027
1026
1026
1026
1026
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1025
1025
1025
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1025
1024
1024
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JL024
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1023
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1022
1023
1021
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9,9903
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9.9903
9,9903
9,9903
9,9903
9,9903
9,9903
9,9903
9,9903
9,9903
9,9903
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9,9903
9,9903
9,9903
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9,9902
9,9902
9,9902
9,9902
9,9902
9,9902
9,9902
9,9902
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9,9902
9,9902
9,9902
9,9902
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9,9901
9,9901
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9,9901
9,9901
9,9901
9,9901
9,9901
9,9901
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Sin.
D
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881,1
586^
683,9
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879,3]
S. £&
770
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120
277
M. S.
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
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0
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20
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0
10
20
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10
20
30
40
50
0
Sin.
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9,3238
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9,3240
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9,3250
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371
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260
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203
174
145
116
087
057
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Diff.
977
976
977
976
976
975.
975
976
974
975
974
975
974
973
974
973
973
973
973
972
972
972
972
971
971
971
971
971
970
970
970
969
970
969
969
969
968
968
969
967
968
967
967
967
967
967
966
966
966
965
965
966
964
965
965
964
964
964
963
963
964
962
Cosin. Diff.
9,3266
9,3267
9,3268
9,3269
9,3270
9,3271
997
966
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905
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843
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748
715
683
65Ö
617
584
551
518
484
45Ö
9,3284
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38l
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312
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241
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170
134
09S
061
024
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Tang.
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Cotang.
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9,9900
9,9900
9,9900
9,9900
9,9900
9,9900
9,9900
9,9900
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9,9900
9,9900
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9,9900
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9,9899
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9,9899
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9,9899
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t46
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D
50
49
S. M.
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8. r. 8.
^•4
770
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278
12*
12« 20' — 30'.
M.
S.
Sin.
äü
21
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4ll
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963
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953
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952
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»•
951
951
950
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950
950
949
Diff.
Tang.
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1009
1009
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1008
1008
1008
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D.o
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r— TT
4|
Tahg.
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9,9898
9,9898
9,9898
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9,9898
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551]
504!
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9,9898
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9,9898
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Diff.
Tang.
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59
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51
50
S. M
P. P. auch z, folg. 8.
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867
866
866
866
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Tang.
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D.c.
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927
927
927
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927
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926
926
926
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926
925
925
925
924
925
924
924
924
924
924
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923
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923
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922
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Cotang.
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T
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J
)
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844
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841
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828
829
829
828
829
828
828
828
827
828
827
827
827
827
826
827
826
826
826
826
826
825
825
825
825
825
825
824
824
824
824
Diff.
Tang.
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D.c
887
887
887
887
887
886
887
886
886
886
886
885
886
885
885
885
885
885
884
885
884
884
884
883
884
883
884
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883
882
883
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883
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882
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882
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881
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880
880
880
880
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879
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878
878
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Cotang. D. c. Tang.
Cotang.
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Cosin.
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Sin.
50
49
48
47
46
45
44
43
42
41
40
8. M.
P. P. auch z. vor. S.
54
5,4
10,8
16,2
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883
88,3
176,6
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82,7
165,4
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578,9
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744,3
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87.9
175,8
263,7
351,6
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615,3
703,2
791,1
833
83,3
166,6
249,9
333,2
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583,1
666,4
749,7
829
82,9
165,8
248,7
331,6
414,5
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825
82,5
165,0
247,5
330,0
412,5
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577,5
660,0
742^
8. Y. S.«
885
88,5
177,0
265,5
354,0
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708,0
796,5
882
88,2
176,4
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441,0
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617,4
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878
87,8
175,6
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82,8
165,6
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579,6
662,4
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824
82,41
164,8
247,2
329,6
412,0
494,4
576,8
659,2
741,6
750
19
Digitized by
Google
290
M.
140
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
14020' — 30'.
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20
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0
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0
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10
20
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50
0
10
20
30
40
50
30
Sin.
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9,3940
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194
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221
041
86Ö
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9,3985
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924
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553
368
182
996
Cosin.
Diff.
824
824
824
824
823
824
823
823
822
823
822
823
822
822
822
82X
822
821
821
821
821
820
821
820
820
820
820
820
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819
820
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818
819
818
819
818
818
818
817
818
817
817
817
817
817
816
817
816
816
816
816
815
815
816
815
815
814
815
814
814
814
Diff.
750 30' _ 40'.
Tang.
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D.c.
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878
877
878
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877
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876
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87Ö
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870
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869
869
869
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Cotang.
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Tang.
Cosin.
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P. P. auch z. folg. S.
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Diff.
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796
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795
Diff.
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854
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853
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853
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852
852
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851
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D
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55
55
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55
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ISO 10^ ^ 20'.
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740
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20
30
40
50
9,4223
9,4223
9,4224
9,4225
9,4226
9,4227
176
943
711
479
246
013
9,4227
9,4228
9,4229
9,4230
9,4230
9,4231
780
547
314
081
847
614
9,4232
9,4233
^,4233
9,4234
9,4235
9,4236
380
146
912
678
443
209
30
9,4236
9,4237
9,4238
9,4239
9,4240
9,4240
974
739
504
269
034
799
9,4241
9,4242
9,4243
9,4243
9,4244
9,4245
Sin. Diff.
768
767
768
768
767
767
767
767
767
767
766
767
766
766
766
766
765
766
765
765
765
765
765
765
764
764
765
764
764
763
764
763
764
763
763
763
763
762
763
762
762
762
762
762
761
762
761
761
761
761
761
760
761
760
760
760
760
760
760
759
759
759
DiflF.
9,4246
9,4246
9,4247
9,4248
9,4249
9,4249
563
327
092
856
620
383
147
91Ö
674
437
20Ö
963
9,4250
9,4251
9,4252
9,4253
9,4253
9,4254
726
488
251
013
775
537
9,4255
9,4256
9,4256
9,4257
9,4258
9,4259
299
061
822
584
345
106
9,4259
9,4260
9,4261
9,4262
9,4262
9,4263
867
628
389
149
910
670
9,4264
9,4265
9,4265
9,4266
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430
190
950
710
470
229
9,4268 988
Cosin.
Tang.
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D.c
826
825
826
825
825
825
825
825
824
825
824
824
825
823
824
824
823
824
823
823
823
823
823
823
822
822
823
822"
822
821
822
822
821
821
821
821
821
821
820
821
820
820
821
819
820
820
819
820
819
819
819
819
819
819
818
818
819
818
818
817
818
818
Cotang. D. c.
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Cotang.
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Cosin.
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Tang.
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D
58
58
58
57
58
58
58
58
57
58
58
58
58
58
57
58
58
58
58
58
58
58
58
58
58
58
58
58
58
58
58
58
58
58
58
58
59
58
58
58
58
58
59
58
58
58
58
59
58
58
58
59
58
58
59
58
58
59
58
58
59
58
Sin. D
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9,9840 794
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9,9840 678
9,9840 620
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9,9839 164
9,9839 105
S.
40
39
38
37
36
35
34
P.P. auch z.folff.S.
57
M.
33
32
31
30
1
2
3
4
5
6
7
I19
74030' — 40'
5,7
IM
17,1
22,8
28,5
34,2
39,9
45,6
6i,a
58
825
82,5
165,0
247,5
330,0
412,5
495,0
577,5
660,0
742,5
5,8
11,6
17,4
23,2
29,0
34,8
40,6
46,4
52,2
824
82,4
164,8
247,2
329,6
412,0
494,4
576,8
659,2
741,6
822
82,2
164,4
246,6
328,8
411,0
493,2
575,4
657,6
739.8
768
76,8
153,6
230,4
307,2
384,0
460,8
537,6
614,4
691,2
820
82,0
164,0
246,0
328,0
410,0
492,0
574,0
656,0
738,0
767
76,7
153,4
230,1
306,8
383,5
460,2
536,9
613,6
690,3
765
76,5
153,0
229,5
306,0
382,5
459,0
535,5
612,0
688,5
762
76,2
152,4
228,6
304,8
381,0
457,2
533,4
609,6
6858
764
76,4
152,8
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76,0
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608,0
684.0
8.18.
740
Digitized by
Uoogle
150
297
740
Digitized by
Google
298
150
150 40' — 50'.
M. S.
40
41
42
43
44
45
47
48
49
0
10
20
30
40
50
46i 0
10
20
30
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60
0
10
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0
10
20
30
40
50
0
10
20
30
40
50
50
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9.4333 Oll
9.4333 758
9.4334 505
9.4335 252
9,4335 999
Sin. Diff.
751
751
750
751
750
750
750
750
750
749
750
749
749
,749
749
749
748
749
748
748
748
748
748
747
748
747
747
747
747
747
747
746
747
746
746
746
746
745
746
745
745
745
745
745
745
745
744
744
744
744
744
744
744
743
743
744
743
742
743
743
742
743
Diff.
9.4336 746
9.4337 492
9.4338 239
9.4338 985
9.4339 731
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Cosin.
740 10' — 20'.
Tang.
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9.4479 514
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Cotang.
D.c.
809
810
810
809
810
809
809
809
809
808
809
808
809
808
808
808
808
807
808
807
807
808
807
807
806
807
806
807
806
806
806
806
806
806
805
805
806
805
805
805
804
805
804
805
804
804
804
804
804
803
804
803
803
803
803
803
803
802
803
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802
802
D.c.
Cotang.
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S. M.
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D
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D.c.
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788
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8. V. 8.
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M. S.
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718
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716
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715
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714
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730S"'
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D.c
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9,9817 37Ö
Sin.
092^^
968i^;
783 r
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40
50
50
Sin.
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' " Cosin.
Diff.
703
704
703
703
703
702
703
702
703
702
702
702
702
702
701
702
701
701
702
701
701
700
701
700
701
700
700
700
700
700
700
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699
700
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699
699
699
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699
698
699
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698
698
698
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698
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696
697
696
697
696
696
696
696
Diff.
Tang.
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9.4763 765
9.4764 531
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9.4766 063 '^^
766
7a5
766
765
766
765
765
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9.4772 186 '^^
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765
765
764
765
764
764
764
764
764
763
764
763
764
763
763
763
763
763
762
763
762
763
9,4789 748 ygg
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9.4791 272
9,4792 034 vß«
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D.c.
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766
766
766
766
762
762
762
761
762
9.4794 319 yg»
9.4795 08l' 7ßi
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Cotang.
730 10' — 20'.
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761
761
761
761
761
761
760
761
760
760
760
760
760
760
760
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D.c.
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Cotang.
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Tang.
Cosin. D
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9,9813
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9,9813
9,9813
9,9813
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9,9813
9,9813
9,9813
9,9812
9,9812
229
166
103
040
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913
9,9812
9,9812
9,9812
9,9812
9,9812
9,9812
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787
724
661
9,9812
9,9812
9,9812
9,9812
9,9812
9,9812
,63
471ßQ
408^^
345
281
218
155
9,9812
9,9812
9,9811
9,9811
9,9811
9,9811
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028:
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9,9811
9,9811
9,9811
9,9811
9,9811
9,9811
63
64
IJJ63
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9,9811
9,9811
9,9811
9,9811
9,9811
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014
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9,9810
9,9810
9,9810
9,9810
9,9810
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760,
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633
9,9810
9,9810
9,9810
9,9810
9,9810
9,9810
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315
251
9,9810
9,9810
9,9810
9,9809
9,9809
9,9809
187
124 ß.
06Öic?
996!^
93361
869^*
9,9809 805 1
-i64
63
Sin.
D S.
P.P.auchz.fo!
201 63
19
18
17
16
15
14
M.
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12,6
18,9
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64
6,4
12,8
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25,6
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610,4
686,7
704
13
12
11
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
70,4
140,8
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gs.
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152,2
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70,3
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697
69,7
139,4
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6^7^
f. S.
69,6
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626,4
730
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160
305
M.
s.
Sin.
50
51
52
53
54
55
56
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58
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160
0
10
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iS
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9,46^3 379
9,4624 O: :
9.4624 7(
9.4625 4( :
9,4626 11
9.4626 8!
9.4627 5^ :
9.4628 2<
9,4628 9!
9,4029 61
9.4630 31
9.4631 0]
9.4631 7]
9.4632 4(
9.4633 Dt
9,4633 7J i
9.4634 4^
9.4635 1\
9.4635 8( \
9.4636 5(
9.4637 2! \
9,4637 9^ ;
9.4638 6-
9.4639 Z\ '.
9.4640 OJ
9.4640 7:
9.4641 4(
9.4642 0( [
9.4642 7{
9.4643 482
9.4644 173
9.4644 865
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9.4658 665
9,4659 353
/
II
Cosin.
Diff.
696
696
696
695
696
695
695
695
695
695
695
695
694
695
694
694
694
694
694
694
693
694
693
693
693
693
693
693
692
693
692
692
692
692
692
692
691
692
691
692
691
691
691
690
691
691
690
690
691
690
690
689
690
690
689
689
690
689
689
689
688
689
Diff.
Tang.
9,4808 011
9.4808 77Ö
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D.c.
760
759
760
759
759
759
759
759
759
759
758
759
758
758
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759
757
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758
757
757
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757
757
756
757
756
757
756
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756
756
756
756
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756
755
755
756
755
755
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755
755
754
755
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754
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754
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Cotang.
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9,9809 1(
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9,9808 4(
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S. M.
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Sin. Diff.
688
689
689
688
688
688
688
688
688
688
687
688
687
687
687
687
687
687
686
687
686
686
687
686
686
685
686
685
686
685
685
685
685
685
685
684
685
684
685
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683
683
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9,4699 779
9,4700 461
Cosin.
683
682
683
682
682
683
682
681
682
682
681
Diff.
Tang.
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9.4869 181
9.4869 931
9.4870 682
9.4871 433
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9.4872 933
9.4873 683
9.4874 434
9.4875 184
D.O.
753
753
753
753
753
752
753
752
752
752
752
752
752
752
751
752
751
752
751
751
751
751
750
751
751
750
750
750
751
750
749
750
750
749
750
749
749
750
749
748
749
749
749
748
748
749
748
748
748
748
748
747
748
747
747
748
747
747
747
746
747
747
Cotang. D. c.
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Cosin. Dl"
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9,9805
9,9805
9,9805
9,9805
9,9805
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9,9805
9,9805
9,9805
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9,9805
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9,9804
9,9804
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9,9804
9,9804-
9,9804
9,9804
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9,9803
9,9803
9,9803
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9,9803
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9,9803
9,9803
9,9803
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S.
6U
59
58
57
56
55
54
53
52
51
50
M.
P.P. auch z. folg. S.
64
6,4
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,45,5
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1
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20
S. M.
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4
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6
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8
720 20' — 30'.
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146,2
219,3
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145,6
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582,4
655,2
666
66,6;
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596,7
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20*
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0
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§
II
Cosin.
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661
661
661
661
661
660
661
660
660
660
660
660
660
660
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660
659
659
658
659
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658
659
658
658
658
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657
658
657
658
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657
657
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657
656
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656
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656
656
656
656
655
656
656
655
655
655
656
655
654
655
655
654
655
Diflf.
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728
728
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728
728
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726
725
725
726
725
725
725
725
725
725
724
725
724
724
725
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724
724
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723
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723
723
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723
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Sin. D
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1
n
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P. P. auch z. folg. & 1
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Q Q7C1 KCtfi
P. P. auch z. folg. S.
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69,0
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615
615
615
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613
613
613
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613
612
613
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612
612
613
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611
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Difif.
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D.c.
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D.c.
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72
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D
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9,9758
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918
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TÖi
Sin.
18^50' — 190 0'.
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M.
P. P.
71
7:r
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s. V. s.
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eiT
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1
Digitized by
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^
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611
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611
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6li
610
6U
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611
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607
607
607
607
606
607
606
607
606
606
606
606
606
606
606
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L
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21
Djgitized by
Google
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190
190 40' — 50'.
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41
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589
589
589
589
589
589
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589
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588
588
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588
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587
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587
588
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586
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587
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D
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9,5579
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9,5580
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9,5583
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9,5584
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9,5585
9,5586
9,5586
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9,5588
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9,5589
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9,5590
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122
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004
546
Ö88
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17l
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Diff.
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543
544
544
543
544
543
543
543
543
543
543
543
543
543
542
543
543
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542
542
543
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542
542
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540
540
539
540
539
539
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539
539
Cosiu. Diff.
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9,5592
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9,5593
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9,5602
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9,5603
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9,5605
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Tang.
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Cotaofir.
D.c.
626
625
625
625
625
625
625
625
625
625
624
625
625
624
624
625
624
624
624
624
624
624
624
624
624
624
623
624
623
624
623
623
623
624
623
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623
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623
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622
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622
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622
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622
621
622
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D.c.
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Cotang.
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Sin.
P.P.
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41
40
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62,1
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680
Digitized by
Google
332
2F
210 20' — 30'.
M. S.
20
21
22
23
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26
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30
40
50
30
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Cosin.
Diflf.
539
539
539
539
539
538
539
539
538
539
538
538
539
538
538
538
538
538
537
538
538
537
538
537
537
538
537
537
537
537
537
536
537
537
536
537
536
536
537
536
536
536
536
536
535
536
536
535
536
535
535
536
535
535
535
535
535
534
535
535
534
535
Diff.
50 30' — 40'.
Tang.
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D.c.
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621
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621
621
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620
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618
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617
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617
618
D.c.
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Tang.
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9,9690
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9,9690
9,9690
9,9690
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664
582
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417
334
Coßin. D
8^
82
82
83
82
82
82
83
82
82
83
82
83
82
8(2
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82
83
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82
83
82
83
82
83
82
83
82
83
83
82
83
82
83
83
82
83
83
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83
83
82
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82
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83
83
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9,9690
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Sin.
P.P.
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30
M.
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^37~
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"53r
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427,2
480,6
68»
Digitized by
Google
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333
M.
s.
Sin.
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0
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t
II
Cosin.
Diff.
534
535
534
535
534
534
534
534
534
534
534
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534
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533
533
533
533
533
533
533
533
533
532
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532
533
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532
532
532
532
532
532
531
532
531
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531
531
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531
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530
530
530
530
530
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615
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84
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Sin.
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551,7
68» 20' — 3(
680
Digitized by
Google
334
210
210 40' — 50'.
M.
S.
40
41
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530
530
530
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530
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530
529
529
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529
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529
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529
528
529
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526
526
526
526
525
526
526
525
Diff.
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585
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583
584
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583
583
583
583
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583
583
583
582
583
583
582
583
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582
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Digitized by
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489
488
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D
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n
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20
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l-
II
Cosin.
469
469
469
469
469
469
469
469
469
468
469
469
468
469
468
468
469
463
468
468
468
468
468
468
468
468
467
468
467
468
467
468
467
467
468
467
467
467
467
467
466
467
467
467
466
467
466
467
466
466
466
467
466
466
466
466
466
465
466
466
465
466
Diff.
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Cotang.
564
564
563
564
563
564
563
564
563
563
564
563
563
563
563
563
563
563
563
563
562
563
563
562
563
562
563
562
563
562
562
563
562
562
562
562
562
562
562
562
561
562
562
562
561
562
561
562
561
561
562
561
561
561
562
561
561
561
561
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561
561
D.c.
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9,9601
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9,9601
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9,9600
9,9600
9,9600
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9,9600
9,9600
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201
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9,9596
9,9596
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9,9596
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345
250
155
059
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Sin.
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49
48
47
46
45
44
43
42
41
40
S. M.
;o40' — 50'.
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9,4
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650
Digitized by
Google
350
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22
23
24
25
*26
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28
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Cosin.
4t>ö
465
465
465
465
465
464
465
464
465
464
465
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465
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464
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463
463
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463
462
462
463
462
462
462
463
462
462
Diff.
$5030' __ m'
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561
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560
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560
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560
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D.c.
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95
82lLfi
725i95
630!^^
439;95
3^'n.
— =|96
15396
057^^
962
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771
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D.
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455
455
455
455
455
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455
454
455
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455
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455
454
454
454
454
454
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453
454
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454
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453
453
453
453
453
453
453
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453
453
452
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452
453
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451
452
452
452
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Diff.
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Tane.
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Cosin.
Diff.
452
451
452
451
451
452
451
451
451
451
451
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450
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N
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Diff.
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436
436
436
436
436
436
436
436
435
436
436
435
436
435
436
435
435
436
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435
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640
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435
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Cosin. Diff:
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102
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9,9541
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9,9541
9,9541
9,9541
9,9541
9,9541
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9,9540
9,9540
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9,9540
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9,9539
9,9539
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653
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9,9538
9,9538
9,9538
9,9538
9,9538
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9,9537
9,9537
9,9537
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9,9537
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9,9536
9,9536
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115
705
9,9536
Sin.
129
027
925
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312
210
108
q 102
102
103
102
102
102
102
103
102
102
102
103
102
102
103
102
677
575
472
3^2 102
268 ^^^
103
102
103
102
102
103
102
103
102
103
102
103
102
103
102
103
102
103
103
102
103
102
807 1"^
102
103
^^2 103
Diff.
10
S. M
640 0' — 10'.
640
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Google
360
260
M. S.
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Cosin.
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431
432
431
432
431
432
431
431
432
431
431
431
431
431
431
431
431
431
430
431
431
430
431
430
430
431
430
430
430
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430
430
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430
430
430
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430
429
430
429
429
430
429
429
429
429
429
429
429
429
429
429
428
429
429
428
429
Diff.
Tang.
D.c
9.6881 818! Hl
9.6882 3521 Hj
9,6882 886' ^^*
9,6883 ^21
9.6883 955
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535
534
534
534
534
535
534
534
534
533
534
534
534
534
534
, 533
9,6891 430' CO.
9.6891 964 ???
9.6892 497 ^^^
9.6893 031
9.6893 565
9.6894 098
9,6888 227
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534
533
533
534
533
534
533
533
533
533
534
533
533
533
533
533
532
533
533
533
532
533
533
532
533
532
533
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533
532
532
533
532
532
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532
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532
532
D.c.
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Cotang.
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103
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103
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103
103
103
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103
103
103
103
103
103
103
102
103
103
103
103
103
103
103
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103
103
103
103
103
103
103
104
103
103
103
103
104
103
103
103
104
103
103
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103
103
104
103
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103
104
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Digitized by
Google
260
361
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Sin. Diff.
428
429
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426
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D.c.
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532
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531
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530
531
531
531
531
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531
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v531
530
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531
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104
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104
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9,9527
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Digitized by
Google
260
260 20' — 30'.
M.
2U
21
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s.
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Ö38
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158
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425
425
426
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425
425
425
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425
425
425
425
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425
424
425
424
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424
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424
424
424
424
424
424
424
424
424
424
424
424
423
424
423
424
423
424
423
423
424
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423
423
423
423
423
423
423
42-3
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423
423
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423
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422
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423
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P60
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9,6490
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529
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529
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528
528
528
528
528
52[8
528
528
528
528
527
528
528
527
528
528
527
528
527
528
527
527
528
527
D.c.
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„ 9,9521
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52,
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380,:
630
Digitized by
Google
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363
260!
M. S.
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422
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105
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105
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••
22
21
20
M.
63» 20' — 30'.
630
Digitized by
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Diff.
420
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419
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418
419
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418
418
419
418
418
418
418
418
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417
418
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416
417
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416
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416
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416
416
416
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525
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525
525
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524
524
524
524
524
524
524
524
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106
106
105
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106
106
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106
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106
106
106
106
106
106
106
106
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106
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106
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106
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S.
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630
Digitized by
Google
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M. S.
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'Isi
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•
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Digitized by
Google
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"
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A^A.\\
Tang.
p.c.
•I KOI I
Cotang.
Cosin.
piff.
UJ-
P.P.
620
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270
367
62»
Digitized by
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368
2T0
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405
404
404
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712
^^§ 406
405
406
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406
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405
405
405
405
405
405
404
405
405
438
n 404
D.c.
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516
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516
516
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516
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516
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516
516
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516
515
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515
516
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516
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515
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515
515
515
515
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515
515
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375
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Diff
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20
M.
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61«
Digitized by
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376
280
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M.
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43
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382
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9,74
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Digitized by
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118
117
118
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118
117
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118
118
118
118
118
118
117
118
118
118
118
118
118
118
118
118
118
118
119
118
118
118
118
118
118
118
119
118
118
118
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118
118
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Diff
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374
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600
Digitized by
Google
380
290
290 20' — 80'.
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20
21
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29
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Sin.
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121
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121
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121
121
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109,8
600
Digitized by
Google
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485
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485
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485
485
485
485
485
485
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485
485
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121
122
121
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122
122
122
122
122
122
122
122
122
122
122
122
122
122
122
122
122
122
122
122
123
122
122
122
122
123
122
122
122
123
122
122
123
122
122
123
122
122
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n M
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Digitized by
Google
so«
385
300 10' — 20'.
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10
11
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Diff.
362
;2|362
362
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170
Cosin.
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360
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360
361
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360
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D.c
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9,9364
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9,9364
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122
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122
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123
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122
123
123
122
123
123
122
047
924
Ö02i23
679 ]^3
123
122
311 123
188 -tno
O6II23
123
123
122
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123
123
123
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= 123
123
123
123
123
123
123
123
123
123
123
123
123
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123
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236
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- 123
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»=L
Sin. IDiff
S. ]
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P.P.
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124
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590
25
Digitized by
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800 20' — 30'.
M.
20
21
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Di£
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357
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59030' _40'.
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483
483
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481
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Sin.
Diflf.| "
123
124
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123
123
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Cosin. Diff.
^'^25
^^ 125
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9,9345
9,9345
9,9345
9,9345
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9,9344
9,9344
9,9344
9,9344
9,9344
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113
988
863
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613
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9,9343
9,9343
9,9343
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238
113
988
862
9,9342
9,9342
9,9342
9,9342
9,9342
9,9342
737
612
487
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111
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9,9341
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9,9341
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Sin
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125
125
125
125
125
125
125
125
125
125
125
125
125
125
125
125
125
125
125
126
125
125
125
125
126
125
125
125
10fi
20
19
18
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16
15
P.P.
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Digitized by
Google
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4t)2
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35^
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478
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478
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(
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1
590
Digitized by
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Diff.
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351
350
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350
350
350
350
351
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350
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350
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350
350
349
350
350
349
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9,7127
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= 349
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132
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132
132
133
132
132
133
132
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60
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131
P.P.
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397
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S.
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19
20
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Diffi
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333
332
333
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332
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467
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467
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467
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466
466
466
466
466
466
466
466
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466
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5T0
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321
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320
-320
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lae
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40
S. M.
560 40—50'.
560
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404
M. S.
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II
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Ai^rk
^1-^
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S.
~34<»0.
P.P.
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Digitized by
Google
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M.
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9,7475
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i42
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143
iDiff.
S.
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M.
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451
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!
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9,9150
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9,9143
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Sin.
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146
146
145
146
145
146
146
145
146
146
146
145
146
146
146
146
146
146
146
146
146
145
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146
146
146
147
146
146
146
146
147
146
146
147
146
146
147
146
146
147
146
147
146
146
147
146
147
146
147
Diir.
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Je
17 Sv
e
G
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15
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13
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11
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M.
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303
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303
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302
302
302
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302
302
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301
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301
301
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301,
301
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Cotang.
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449
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449
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449
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449
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449
449
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449
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449
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^ii
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146
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146
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147
146
147
147
147
146
147
147
147
147
146
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147
147
147
147
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147
147
147
147
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147
147
147
147
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148
147
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147
147
148
147
Diff.
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6
560 0' — 10'
146
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M.
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550
Digitized by
Google
414
IT™
3500' — 10'.
M.
4
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10
s.
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"9,7601
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n
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Digitized by
Google
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299
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299
299
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298
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298
299
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298
298
298
298
298
298
298
298
297
298
298
298
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297
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297
297
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447
447
447
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447
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447
447
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447
447
447
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447
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447
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148
149
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149
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149
149
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149
149
J.50
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Digitized by
Google
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30
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1
u
Coi
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297
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297
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jD.c.
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153
153
152
153
153
152
153
153
152
153
153
152
153
153
153
153
152
153
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153
153
153
153
153
153
153
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D.c.
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442
442
442
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442
442
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155
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155
155
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^
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T
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286
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28^
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285
285
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285
285
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285
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285
284
285
285
285
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285
284
285
285
Diff.
Tang.
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442
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441
441
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441
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441
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158
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15&
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157
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Diff.
10
S. M.
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"28r
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530
Digitized by
Google
426
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U
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Digitized by
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9,7862 417 ^'
Tang-
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9.8850 24l
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9,8851 548
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9,8852 420
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9.8853 728
9.8854 164
9,8854 60Q
274
274
274
274
274
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9,8855 471
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9.8856 779
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274
274
274
273
274
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9.7852 964
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9.7854 878
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9.7859 794
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9,7860 613
9,7860 886
Cosin.
274
273
274
273
274
273
274
273
273
274
273
273
274
273
273
273
273
274
273
273
273
273
273
273
273
273
272
273
273
273
273
272
Diff.
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9,8858 522
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D.c
436
436
436
436
435
436
436
436
436
436
436
436
435
436
436
436
436
435
436
436
436
435
436
436
435
436
436
436
435
436
435
436
436
435
436
435
436
435
436
436
435
436
435
436
435
435
436
435
436
435
436
435
435
436
435
435
436
435
435
436
435
435
Cotang. D. c.
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9.8872 024
9^72 459
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Cotang.
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Cosin. Diff.
9,8994
9,8994
9,8994
9,8994
9,8994
9,8993
667
605
343
182
020
859
9,8993
9,8993
9,8993
9,8993
9,8993
9,8992
697
535
374
212
05Ö
888
9,8992
9,8992
9,8992
9,8992
9,8992
9,8991
727
565
403
241
079
918
9,8991
9,8991
9,8991
9,8991
9,8991
9,8990
756
594
432
270
108
946
9,8990
9,8990
9,8990
9,8990
9,8990
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622
460
298
136
974
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9,8989
9,8989
9,8989
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488
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002
9,8988
9,8988
9,8988
9,8988
9,8988
9,8988
9,8987
9,8987
9,8987
9,8987
9,8987
9,8987
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678
515
353
191
029
867
704
542
380
218
055
9,8986
9,8986
9,8986
9,8986
9,8986
9,8986
0,1124 058
Tang.
893
73l
568
406
243
081
9,8985
9,8985
9,8985
9,8985
9,8985
9,8985
919
756
594
431
269
106
9,8964 944
Sin. Diff.
S.
P.P.
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174,4
218,0
261,6
305,2
348,8
-392,4
435
24
23
22
21
20
M.
520
Digitized by
Google
430
37°
370 40' — 50'.
M.
40
41
42
43
44
45
46
'47
48
49
50
Sin.
9,7860
9,7861
9,7861
9,7861
9,7861
9,7862
9,7862
9,7862
9,7863
9,7863
9,7863
9,7863
886
158
431
704
976"
249
522
794
067
339
612
8
Difif.
273
272
273
273
272
273
273
272
273
272
273
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9,7864
9,7864
9,7864
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9,7865
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Cosin.
52« 10'
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D.c.
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435
436
435
435
435
436
435
435
435
435
Cotang.
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Cosin.
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9,8983 805
9,8983 643
9,8983 480
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Diff.
162
163
163
162
163
162
163
163
162
163
l63
20
19
P.P.
162
163
164
16,2
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81,0
97,2
113,4
;29,6
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16,3
32,6
48,9
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130,4
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16,4
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49,2
65,6
82,0
98,4
114,8
131,2
147,6
520
Digitized by
Google
370
0
10
20
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0
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20
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20
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0
10
20
30
40'
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9,7877
9,7877
9,7878
9,7878
9,7878
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744
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557
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9,7880
9,7880
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9,7885
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9,7890
9,7890
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270
270
269
270
270
269
270
269
270
269
Cosin. Diff.
9,7891
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9,7892
9,7892
9,7892
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881
150
42Ö
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271
271
271
271
271
273,
271
271
270
271
271
271
271
271
270
271
271
270
271
270
271
271
270
271
270
270
271
270
271
270
270
270
271
270
^ 270
270
270
270
270
271
270
270
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270
270
270
270
270
270
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Cotang«
435
434
435
434
435
435
434
435
434
435
434
435
434
435
434
435
434
435
434
435
434
435
434
434
435
434
434
435
434
434
435
434
434
435
434
434
434
435
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434
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435
434
434
434
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434
435
434
434
434
434
434
434
434
434
434
434
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38»
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261
260
261
261
261
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261
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260
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T72
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500
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X73
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173
172
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173
173
173
173
173
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173
173
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Ti
2
|3
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V
B
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^
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ÖC^
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Cosin.
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250
249
249
250
249
249
250
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249
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Cotang.
427
427
428
427
427
427
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427
427
428
427
427
427
427
427
4i7
427
427
427
427
427
427
427
427
427
427
427
427
427
427
427
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427
427
427
427
427
427
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427
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427
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Sin.
178
178
178
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178
178
178
178
177
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178
178
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178
178
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178
178
178
178
178
178
178
178
178
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178
178
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179
179
178
179
179
178
179
179
179
Diff.
490 40' — 50'.
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41
40
c
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179
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161,1
M.
490
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400
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2S
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247
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246
247
247
247
246
247
246
247
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9,8130
9,8130
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^Ifi 246
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9,8131
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247
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246
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246
246
246
246
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246
246
246
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245
246
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245
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245
245
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Cotang.
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426
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426
426
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426
426
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426
426
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426
426
426
427
426,
426
426
426
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426
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426
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426
426
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426
427
426
426
426
426
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180.
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M. S. Sin. Diff.
244
243
244
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244
244
243
244
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243
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244
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243
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243
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243
243
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242
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228
229
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' 423
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Digitized by
n
Google
V
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9,8413
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9,8414
9,8414
9,8414
9,8414
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9,8415
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9,8415
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9,8416
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219
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219
219
219
220
219
219.
219
219
219
219
219
219
219
218
219
219
219
219
219
218
219
219
219
218
219
219
218
219
218
219
218
219
218
219
218
219
218
218
219
218
219
218
218
218
219
218
218
218
218
218
219
218
218
218
218
" Cosin. Diff.
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421
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422
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422
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421
422
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421
421
422
421
422
421
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421
421
422
421
422
421
421
422
421
422
421
421
422
421
421
422
421
422
421
421
422
421
422
421
421
422
421
421
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421
421
422
421
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202
202
202
202
203
202
202
202
203
202
202
203
202
202
203
202
203
202
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r|203
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203
202
203
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203
202
203
203
202
203
203
203
202
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9,8572
9,8572
9,8572
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9,8571
9,8571
9,8571
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9,8570
9,8570
9,8570
9,8569
9,8569
9,8569
Sin. Diff.
203
203
203
202
203
203
203
203
203
203
204
203
203
203
203
203
203
203
204
203
203
203
2(]4
203
10
202
203
204
1
2
3
20,2
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60,6
20,3
40,6
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20,4
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142,8
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183,6
6
0
K
460 0' — 10'.
460
Digitized by
Google
y/.
468
440
4400' — 10'.
M. S.
0
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0
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9,8420
9,8420
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9,8421
10
Sin.
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9,8418
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9,8421
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9,8422
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9,8423
9,8423
9,8423
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"939
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9,8425
9,8425
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9,8426
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200
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9,8430 757
Cosin.
Diff.
218
218
218
218
218
218
218
217
218
218
'218
218
218
217
218
218
218
217
218
218
217
218
217
218
217
218
217
218
217
218
217
218
217
217
218
217
217
217
218
217
217
217
217
218
217
217
217
217
217
217
217
217
217
217
217
217
216
217
217
217
217
216
Diff.
Tang.
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9.9848 793
9.9849 215
9.9849 63i
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D.c.
422
421
422
421
421
422
421
421
422
421
421
422
421
421
422
421
421
422
, 421
9.9855 956 ^,
9.9856 377 ^A
9,9856 799! ^^
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Cotang!
450 50' — 46^0'.
421
421
422
421
421
422
421
421
422
421
421
422
421
421
422
421
421
422
421
421
421
422
421
421
422
421
421
422
421
421
421
422
421
421
422
421
421
421
422
421
421
De.
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Tang.
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9,8567 917
9,8567 714
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9,8567 307
Diff.
203
203
204
203
204
203
203
204
203
204
203
60
203
204
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20,3
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Cosin.
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213
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213
213
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212
212
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212
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Cotang.
421
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421
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421
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'421
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421
:|i421
421
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209
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209
209
209
209
209
209
209
209
209
209
209
209r
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